Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1129. (May 2012)

C. 1129. The tangents drawn from a certain point to the parabola 2y=x2-2 are also tangent to the parabola 4y=x2-10x+37. Find the point.

Suggested by G. Holló, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on June 11, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Érintse a keresett P ponton átmenő y=mx+a egyenletű egyenes mindkét parabolát.

Az első parabola: 2y=x2-2. Ezt pontosan akkor érinti az y=mx+a egyenes, ha a 0=x2-2mx-(2a+2) egyenlet diszkriminánsa 0: 4m2+8a+8=0, amiből a=\frac{-m^2}{2}-1.

A második parabola: 4y=x2-10x+37. Most a 0=x2-(10+4m)x+(37-4a) egyenlet diszkriminánsa kell, hogy 0 legyen:

0=16m^2+80m+16a-48=16m^2+80m+16(\frac{-m^2}{2}-1)-48=8m^2+80m-64.

Innen m=-5\pm\sqrt{33}.

Most már felírható a két egyenes egyenlete:

y=(-5+\sqrt{33})x+(-30+5\sqrt{33}),

y=(-5-\sqrt{33})x+(-30-5\sqrt{33}).

Az egyenletrendszer megoldása: x=-5, y=-5. Tehát a keresett P pont koordinátái: P(-5;-5).


Statistics:

81 students sent a solution.
5 points:52 students.
4 points:5 students.
3 points:5 students.
2 points:6 students.
1 point:8 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2012