KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A C. 1129. feladat (2012. május)

C. 1129. Adjuk meg azt a pontot, amelyből a 2y=x2-2 parabolához húzott érintők érintik a 4y=x2-10x+37 egyenletű parabolát is.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. június 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Érintse a keresett P ponton átmenő y=mx+a egyenletű egyenes mindkét parabolát.

Az első parabola: 2y=x2-2. Ezt pontosan akkor érinti az y=mx+a egyenes, ha a 0=x2-2mx-(2a+2) egyenlet diszkriminánsa 0: 4m2+8a+8=0, amiből a=\frac{-m^2}{2}-1.

A második parabola: 4y=x2-10x+37. Most a 0=x2-(10+4m)x+(37-4a) egyenlet diszkriminánsa kell, hogy 0 legyen:

0=16m^2+80m+16a-48=16m^2+80m+16(\frac{-m^2}{2}-1)-48=8m^2+80m-64.

Innen m=-5\pm\sqrt{33}.

Most már felírható a két egyenes egyenlete:

y=(-5+\sqrt{33})x+(-30+5\sqrt{33}),

y=(-5-\sqrt{33})x+(-30-5\sqrt{33}).

Az egyenletrendszer megoldása: x=-5, y=-5. Tehát a keresett P pont koordinátái: P(-5;-5).


Statisztika:

81 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:52 versenyző.
4 pontot kapott:5 versenyző.
3 pontot kapott:5 versenyző.
2 pontot kapott:6 versenyző.
1 pontot kapott:8 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley