KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1134. (September 2012)

C. 1134. One base of an isosceles trapezium is three times the height, and the other base is two times the height. With a line parallel to one leg, the trapezium is divided into a parallelogram and an isosceles triangle. The diagonals of the trapezium and of the parallelogram are drawn. Prove that the area of the triangle bounded by the diagonals is 1/25 of the area of the trapezium.

(5 pont)

Deadline expired on 10 October 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a trapéz magasságát m. Használjuk az ábra jelöléseit.

A trapéz területe \frac{(2m+3m)\cdot m}{2}=\frac{5m^2}{2}.

tFGC=tDCG-tDCF.

A paralelogramma átlói felezik egymást, ezért a DCG háromszög magassága m/2:

t_{DCG}=\frac{2m\cdot\frac m2}{2}=\frac{m^2}{2}.

A DCF és az ABF háromszögek hasonlók, a hasonlósági arány pedig 2:3. Így a magasságaik aránya is 2:3, vagyis a DCF háromszög magassága \frac25m.

Így

t_{DCF}=\frac{2m\cdot\frac25m}{2}=\frac25m^2.

Tehát

t_{FGC}=\frac{m^2}{2}-\frac25m^2=\frac{m^2}{10}=\frac{1}{25}\cdot\frac{5m^2}{2}.

Megjegyzés. A feladat állítása igaz, ha az egyik alap 3/2-szerese a másik alapnak, és a magasság tetszőleges.


Statistics:

318 students sent a solution.
5 points:252 students.
4 points:41 students.
3 points:10 students.
1 point:9 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley