Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1134. (September 2012)

C. 1134. One base of an isosceles trapezium is three times the height, and the other base is two times the height. With a line parallel to one leg, the trapezium is divided into a parallelogram and an isosceles triangle. The diagonals of the trapezium and of the parallelogram are drawn. Prove that the area of the triangle bounded by the diagonals is 1/25 of the area of the trapezium.

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a trapéz magasságát m. Használjuk az ábra jelöléseit.

A trapéz területe \frac{(2m+3m)\cdot m}{2}=\frac{5m^2}{2}.

tFGC=tDCG-tDCF.

A paralelogramma átlói felezik egymást, ezért a DCG háromszög magassága m/2:

t_{DCG}=\frac{2m\cdot\frac m2}{2}=\frac{m^2}{2}.

A DCF és az ABF háromszögek hasonlók, a hasonlósági arány pedig 2:3. Így a magasságaik aránya is 2:3, vagyis a DCF háromszög magassága \frac25m.

Így

t_{DCF}=\frac{2m\cdot\frac25m}{2}=\frac25m^2.

Tehát

t_{FGC}=\frac{m^2}{2}-\frac25m^2=\frac{m^2}{10}=\frac{1}{25}\cdot\frac{5m^2}{2}.

Megjegyzés. A feladat állítása igaz, ha az egyik alap 3/2-szerese a másik alapnak, és a magasság tetszőleges.


Statistics:

318 students sent a solution.
5 points:252 students.
4 points:41 students.
3 points:10 students.
1 point:9 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2012