Problem C. 1136. (October 2012)

C. 1136. M is the orthocentre of triangle ABC, F is the midpoint of side AB, and T is the foot of the altitude drawn from vertex A. Given that MF=4, TM=5, TF=6, construct the triangle ABC.

(5 pont)

Deadline expired on November 12, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Készítsünk ábrát, majd az alapján tervezzük meg a szerkesztés lépéseit.

1.) Az \(\displaystyle MTF\) háromszög egyértelműen megszerkeszthető a három oldalából.

2.) Húzzuk meg az \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle T\) pontokat összekötő egyenest (jelöljük \(\displaystyle e\)-vel), ennek eleme az \(\displaystyle A\) csúcs.

3.) Az \(\displaystyle e\) egyenest tükrözzük az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle F\) felezőpontjára, a kapott \(\displaystyle e'\) egyenes átmegy az \(\displaystyle A\) pont \(\displaystyle F\)-re vonatkozó tükörképén, vagyis \(\displaystyle B\)-n.

4.) Állítsunk merőlegest a \(\displaystyle T\) pontban az \(\displaystyle e\) egyenesre (jelölje \(\displaystyle f\)), ez szintén átmegy a \(\displaystyle B\) csúcson.

5.) \(\displaystyle e'\) és \(\displaystyle f\) metszéspontjaként kapjuk \(\displaystyle B\)-t.

6.) \(\displaystyle B\)-t az \(\displaystyle F\) pontra tükrözve kapjuk \(\displaystyle A\)-t.

7.) Tudjuk, hogy a \(\displaystyle C\)-ből húzott magasság merőleges \(\displaystyle AB\)-re. Rajzoljuk meg tehát az \(\displaystyle MF\) szakasz Thalész-körét.

8.) A kör és az \(\displaystyle AB\) szakasz egyik közös pontja \(\displaystyle F\), a másik pedig a \(\displaystyle C\)-ből húzott magasság \(\displaystyle S\) talppontja.

9.) Az \(\displaystyle SM\) félegyenes és a \(\displaystyle BC\) félegyenes metszéspontja \(\displaystyle C\).

Ezzel a háromszög mindhárom csúcsát megkaptuk.

Statistics:

335 students sent a solution.
5 points:	91 students.
4 points:	144 students.
3 points:	67 students.
2 points:	7 students.
1 point:	17 students.
0 point:	9 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2012