KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1137. (October 2012)

C. 1137. The first two terms of the Fibonacci sequence are a1=1, a2=1, and every further term equals the sum of the two preceding terms, that is, an=an-2+an-1 (n\ge3). Prove that the sequence has no term that leaves a remainder of 4 when divided by 13.

(5 pont)

Deadline expired on 12 November 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A 13-mal való osztási maradékok sorozatát jelölje \(\displaystyle b_1\), \(\displaystyle b_2\) stb. Nyilván \(\displaystyle b_{n}=b_{n-2}+b_{n-1}\) is teljesül.

Írjuk fel a \(\displaystyle b_n\) sorozatot:

\(\displaystyle 1,~1,~2,~3,~5,~8,~0,~8,~8,~3,~11,~1,~12,~0,~12,~12,~11,~10,~8,~5,~0,~5,~5,~10,~2,~12,~1,~0,~1,~1,\ldots\)

Innentől kezdve a maradékok sorozata ismétlődik. Látható, hogy egyik maradék sem 4, vagyis valóban nincs a Fibonacci sorozatnak olyan tagja, ami 13-mal osztva 4 maradékot ad.


Statistics:

293 students sent a solution.
5 points:243 students.
4 points:12 students.
3 points:11 students.
2 points:4 students.
1 point:6 students.
0 point:16 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley