KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1138. (October 2012)

C. 1138. Solve the following equation on the set of real numbers: \sqrt{4-x(4-x)}
-\sqrt{4-x} =4.

(5 pont)

Deadline expired on 12 November 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A gyökjelek alatt nemnegatív számok állnak. Mivel \(\displaystyle 4-x(4-x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\geq0\), ezért elég, ha az \(\displaystyle x\leq4\) feltétel teljesül.

A fentiek alapján az egyenlet így írható:

\(\displaystyle |x-2|-\sqrt{4-x}=4.\)

I. eset: \(\displaystyle 2\leq x\leq4\). Ekkor \(\displaystyle |x-2|=x-2\), a kapott egyenletet rendezve:

\(\displaystyle x-6=\sqrt{4-x}.\)

Mivel a jobb oldal nemnegatív, így a bal oldal sem lehet az, vagyis \(\displaystyle x\geq6\), ami ellentmond az \(\displaystyle 2\leq x\leq4\) feltételnek.

II. eset: \(\displaystyle x<2\). Ekkor \(\displaystyle |x-2|=2-x\), az egyenlet rendezve pedig:

\(\displaystyle -2-x=\sqrt{4-x}.\)

Mivel a jobb oldal nemnegatív, azért \(\displaystyle -2-x\geq0\), vagyis \(\displaystyle x\leq-2\).

Négyzetre emelve és rendezve:

\(\displaystyle x^2+4x+4=4-x,\)

\(\displaystyle x^2+5x=x(x+5)=0.\)

Innen \(\displaystyle x_1=0\) és \(\displaystyle x_2=-5\). A \(\displaystyle 0\) hamis gyök, így az egyetlen megoldás:

\(\displaystyle x=-5.\)


Statistics:

453 students sent a solution.
5 points:338 students.
4 points:17 students.
3 points:41 students.
2 points:33 students.
1 point:19 students.
0 point:5 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley