Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1138. (October 2012)

C. 1138. Solve the following equation on the set of real numbers: \sqrt{4-x(4-x)}
-\sqrt{4-x} =4.

(5 pont)

Deadline expired on November 12, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A gyökjelek alatt nemnegatív számok állnak. Mivel \(\displaystyle 4-x(4-x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\geq0\), ezért elég, ha az \(\displaystyle x\leq4\) feltétel teljesül.

A fentiek alapján az egyenlet így írható:

\(\displaystyle |x-2|-\sqrt{4-x}=4.\)

I. eset: \(\displaystyle 2\leq x\leq4\). Ekkor \(\displaystyle |x-2|=x-2\), a kapott egyenletet rendezve:

\(\displaystyle x-6=\sqrt{4-x}.\)

Mivel a jobb oldal nemnegatív, így a bal oldal sem lehet az, vagyis \(\displaystyle x\geq6\), ami ellentmond az \(\displaystyle 2\leq x\leq4\) feltételnek.

II. eset: \(\displaystyle x<2\). Ekkor \(\displaystyle |x-2|=2-x\), az egyenlet rendezve pedig:

\(\displaystyle -2-x=\sqrt{4-x}.\)

Mivel a jobb oldal nemnegatív, azért \(\displaystyle -2-x\geq0\), vagyis \(\displaystyle x\leq-2\).

Négyzetre emelve és rendezve:

\(\displaystyle x^2+4x+4=4-x,\)

\(\displaystyle x^2+5x=x(x+5)=0.\)

Innen \(\displaystyle x_1=0\) és \(\displaystyle x_2=-5\). A \(\displaystyle 0\) hamis gyök, így az egyetlen megoldás:

\(\displaystyle x=-5.\)


Statistics:

453 students sent a solution.
5 points:338 students.
4 points:17 students.
3 points:41 students.
2 points:33 students.
1 point:19 students.
0 point:5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2012