KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1139. (October 2012)

C. 1139. What is the minimum possible length of the hypotenuse of a right-angled triangle whose perimeter is k?

(5 pont)

Deadline expired on 12 November 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Minimum és maximumérték sokszor szokott lenni egyenlő szárú háromszög esetén, nézzük meg ezt most is. Legyen a szárak hossza \(\displaystyle a\) (így nyilván \(\displaystyle a>0\)), ekkor az átfogó \(\displaystyle \sqrt2a\), a kerület pedig: \(\displaystyle k=(2+\sqrt2)a.\)

Növeljük az egyik befogót \(\displaystyle x\)-szel, a másikat pedig csökkentsük \(\displaystyle y\)-nal (\(\displaystyle x\), \(\displaystyle y>0\)), és nézzük meg, változatlan kerület mellett hogyan változik az átfogó.

Ha a két befogó \(\displaystyle a-x\), illetve \(\displaystyle a+y\), akkor \(\displaystyle k\) kerület mellett az átfogó \(\displaystyle (2+\sqrt2)a-(a-x)-(a+y)=\sqrt2a+x-y\).

Azt szeretnénk belátni, hogy \(\displaystyle x>y\), hiszen ekkor az átfogó nagyobb, mint az egyenlő szárú háromszög esetén.

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt, majd rendezzük a kapott egyenletet:

\(\displaystyle (a-x)^2+(a+y)^2=(\sqrt2 a+x-y)^2,\)

\(\displaystyle a^2-2ax+x^2+a^2+2ay+y^2=2a^2+x^2+y^2+2\sqrt2ax-2\sqrt2ay-2xy,\)

\(\displaystyle -2ax+2ay=2\sqrt2ax-2\sqrt2ay-2xy,\)

\(\displaystyle 0=ax(2+2\sqrt2)-ay(2+2\sqrt2)-2xy,\)

\(\displaystyle 0=a(2+2\sqrt2)(x-y)-2xy.\)

Mivel \(\displaystyle a\), \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pozitívak, ezért a jobb oldal csak úgy lehet 0, ha \(\displaystyle x-y>0\), vagyis \(\displaystyle x>y\).

Ezzel beláttuk, hogy egyenlő szárú háromszög esetén a legkisebb az átfogó.

Ha az átfogó \(\displaystyle c\), akkor a befogó \(\displaystyle c/\sqrt2\), a kerület pedig: \(\displaystyle k=c(1+2/\sqrt2)=c(1+\sqrt2)\), ahonnan

\(\displaystyle c=\frac{k}{\sqrt2+1}.\)


Statistics:

264 students sent a solution.
5 points:68 students.
4 points:42 students.
3 points:36 students.
2 points:27 students.
1 point:71 students.
0 point:19 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley