Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1139. (October 2012)

C. 1139. What is the minimum possible length of the hypotenuse of a right-angled triangle whose perimeter is k?

(5 pont)

Deadline expired on November 12, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Minimum és maximumérték sokszor szokott lenni egyenlő szárú háromszög esetén, nézzük meg ezt most is. Legyen a szárak hossza \(\displaystyle a\) (így nyilván \(\displaystyle a>0\)), ekkor az átfogó \(\displaystyle \sqrt2a\), a kerület pedig: \(\displaystyle k=(2+\sqrt2)a.\)

Növeljük az egyik befogót \(\displaystyle x\)-szel, a másikat pedig csökkentsük \(\displaystyle y\)-nal (\(\displaystyle x\), \(\displaystyle y>0\)), és nézzük meg, változatlan kerület mellett hogyan változik az átfogó.

Ha a két befogó \(\displaystyle a-x\), illetve \(\displaystyle a+y\), akkor \(\displaystyle k\) kerület mellett az átfogó \(\displaystyle (2+\sqrt2)a-(a-x)-(a+y)=\sqrt2a+x-y\).

Azt szeretnénk belátni, hogy \(\displaystyle x>y\), hiszen ekkor az átfogó nagyobb, mint az egyenlő szárú háromszög esetén.

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt, majd rendezzük a kapott egyenletet:

\(\displaystyle (a-x)^2+(a+y)^2=(\sqrt2 a+x-y)^2,\)

\(\displaystyle a^2-2ax+x^2+a^2+2ay+y^2=2a^2+x^2+y^2+2\sqrt2ax-2\sqrt2ay-2xy,\)

\(\displaystyle -2ax+2ay=2\sqrt2ax-2\sqrt2ay-2xy,\)

\(\displaystyle 0=ax(2+2\sqrt2)-ay(2+2\sqrt2)-2xy,\)

\(\displaystyle 0=a(2+2\sqrt2)(x-y)-2xy.\)

Mivel \(\displaystyle a\), \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pozitívak, ezért a jobb oldal csak úgy lehet 0, ha \(\displaystyle x-y>0\), vagyis \(\displaystyle x>y\).

Ezzel beláttuk, hogy egyenlő szárú háromszög esetén a legkisebb az átfogó.

Ha az átfogó \(\displaystyle c\), akkor a befogó \(\displaystyle c/\sqrt2\), a kerület pedig: \(\displaystyle k=c(1+2/\sqrt2)=c(1+\sqrt2)\), ahonnan

\(\displaystyle c=\frac{k}{\sqrt2+1}.\)


Statistics:

264 students sent a solution.
5 points:68 students.
4 points:42 students.
3 points:36 students.
2 points:27 students.
1 point:71 students.
0 point:19 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2012