Problem C. 1140. (November 2012)

C. 1140. Ann, Beth, Connie and Dora shared a room in a class trip. The girls were given 1 bottle of orange juice, 2 bottles of apple juice, 2 bottles of peach juice and 3 bottles of mineral water to take with them on the forest walk. In how many different ways can they distribute the drinks among themselves if everyone is to get two bottles?

Suggested by A. Balga, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a két alma- és a két baracklé is ugyanahhoz a lányhoz került, akkor a lányokhoz kerülő levek rendre aa, bb, vv, nv (értelemszerűen rövidítünk). Ezt \(\displaystyle 4!=24\)-féleképpen oszthatjuk el köztük.

Ha a két almalét egy ember kapja, de a két baracklét nem, az kétféleképpen lehet: aa, bv, bv, nv vagy aa, bn, bv, vv. Az előbbi eset \(\displaystyle 4!/2!=12\) lehetőséget ad, az utóbbi pedig \(\displaystyle 4!=24\)-et. Ugyanennyi, összesen 36 esetet kapunk, ha a két baracklé egy emberhez kerül, de az almalevek nem.

Ha az alma- és a baracklevek mindegyike különböző emberhez kerül, és senki nem kap egyszerre alma- és baracklevet, az két esetben lehetséges(vagy egy alma-, vagy egy baracklé mellé nem kerül víz): bv, bv, av, an vagy av, av, bv, bn. Ez \(\displaystyle 2\cdot4!/2!=24\) lehetőség.

Ha egyvalaki kap alma- és baracklevet is, akkor az esetek: ab, av, bv, vn; ab, an, bv, vv és ab, av, bn, vv. Mindhárom esetben \(\displaystyle 4!=24\) lehetőség van, összesen 72 lehetőség.

Ha ketten kapnak alma- és baracklevet is, az csak egyféleképp lehet: ab, ab, vv, vn. Erre \(\displaystyle 4!/2!=12\) lehetőség van.

Ez összesen \(\displaystyle 24+12+24+36+24+72+12=204\) lehetőség.

Statistics:

256 students sent a solution.
5 points:	66 students.
4 points:	27 students.
3 points:	25 students.
2 points:	53 students.
1 point:	55 students.
0 point:	30 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2012