KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1143. (November 2012)

C. 1143. The first few terms of a number sequence are the even numbers 2, 4, 6, \ldots etc. From a certain term onwards, the sequence continues as an arithmetic progression with a common difference of d=3. Which term is that if the sum of the first 50 terms of the sequence is 2985?

(5 pont)

Deadline expired on 10 December 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel az első 50 elem összege páratlan szám, ezért biztos, hogy legkésőbb az 50. tagnál már 3 a differencia. Vagyis a sorozat így néz ki: \(\displaystyle 2, 4, 6, \ldots,2a, 2a+3, 2a+6,\ldots,2a+(50-a)\cdot3\) (ahol \(\displaystyle a>0\), egész).

A feladat szövege alapján:

\(\displaystyle 2985=\frac{(2+2a)\cdot a}{2}+\frac{[(2a+3)+(2a+(50-a)\cdot3)]\cdot(50-a)}{2}=\)

\(\displaystyle =\frac12(2a^2+2a+(2a+3+2a+150-3a)(50-a))=\)

\(\displaystyle =\frac12(2a^2+2a+(a+153)(50-a))=\frac12(2a^2+2a+7650-103a-a^2).\)

Rendezve:

\(\displaystyle 5970=a^2-101a+7650,\)

\(\displaystyle 0=a^2-101a+1680.\)

Ebből \(\displaystyle a=\frac{101\pm\sqrt{3481}}{2}=\frac{101\pm59}{2}\). Vagyis \(\displaystyle a_1=80>50\), nem megoldás; \(\displaystyle a_2=21\).

Ekkor a keresett tag: \(\displaystyle 2a+3=45\).


Statistics:

>
306 students sent a solution.
5 points:151 students.
4 points:87 students.
3 points:39 students.
2 points:19 students.
1 point:5 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley