A C. 1143. feladat (2012. november)

C. 1143. Egy számsorozat induló elemei a stb. páros számok. Egy bizonyos elemtől kezdve a sorozat d=3 differenciájú számtani sorozattal folytatódik. Melyik ez az elem, ha a sorozat első 50 elemének összege 2985?

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel az első 50 elem összege páratlan szám, ezért biztos, hogy legkésőbb az 50. tagnál már 3 a differencia. Vagyis a sorozat így néz ki: \(\displaystyle 2, 4, 6, \ldots,2a, 2a+3, 2a+6,\ldots,2a+(50-a)\cdot3\) (ahol \(\displaystyle a>0\), egész).

A feladat szövege alapján:

\(\displaystyle 2985=\frac{(2+2a)\cdot a}{2}+\frac{[(2a+3)+(2a+(50-a)\cdot3)]\cdot(50-a)}{2}=\)

\(\displaystyle =\frac12(2a^2+2a+(2a+3+2a+150-3a)(50-a))=\)

\(\displaystyle =\frac12(2a^2+2a+(a+153)(50-a))=\frac12(2a^2+2a+7650-103a-a^2).\)

Rendezve:

\(\displaystyle 5970=a^2-101a+7650,\)

\(\displaystyle 0=a^2-101a+1680.\)

Ebből \(\displaystyle a=\frac{101\pm\sqrt{3481}}{2}=\frac{101\pm59}{2}\). Vagyis \(\displaystyle a_1=80>50\), nem megoldás; \(\displaystyle a_2=21\).

Ekkor a keresett tag: \(\displaystyle 2a+3=45\).

Statisztika:

306 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	151 versenyző.
4 pontot kapott:	87 versenyző.
3 pontot kapott:	39 versenyző.
2 pontot kapott:	19 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai