KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1146. (December 2012)

C. 1146. Given one vertex and the midpoints of all the sides of a pentagon on the plane, prove that it is always possible to find a point on the plane, such that it forms a parallelogram with three of the six given points, and another parallelogram with the other three points.

(5 pont)

Deadline expired on 10 January 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az ötszög csúcsa \(\displaystyle A\), az ebből a csúcsból kiinduló oldalak felezőpontjai \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\), a további oldalak felezőpontjai pedig \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\), és \(\displaystyle M\). Az ötszög \(\displaystyle A\) csúcsával szomszédos két csúcsot jelölje \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle E\). Megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle BE\) szakasz \(\displaystyle R\) felezőpontja megfelelő pont.

Az \(\displaystyle ABE\) háromszögben a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), és \(\displaystyle R\) pontok oldalfelező pontok, így a középvonalak miatt az \(\displaystyle APQR\) négyszög paralelogramma. Az \(\displaystyle RKLM\) négyszög szintén paralelogramma, mert egy négyszög oldalainak felezőpontjai paralelogrammát határoznak meg.


Statistics:

>
166 students sent a solution.
5 points:123 students.
4 points:14 students.
3 points:6 students.
2 points:4 students.
1 point:7 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley