A C. 1146. feladat (2012. december) |
C. 1146. Adottak a síkon egy ötszög oldalainak felezőpontjai és egyik csúcsa. Mutassuk meg, hogy mindig találunk olyan pontot a síkon, amely az adott pontok közül hárommal együtt egy paralelogrammát, és a másik hárommal együtt is paralelogrammát alkot.
(5 pont)
A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen az ötszög csúcsa \(\displaystyle A\), az ebből a csúcsból kiinduló oldalak felezőpontjai \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\), a további oldalak felezőpontjai pedig \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\), és \(\displaystyle M\). Az ötszög \(\displaystyle A\) csúcsával szomszédos két csúcsot jelölje \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle E\). Megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle BE\) szakasz \(\displaystyle R\) felezőpontja megfelelő pont.
Az \(\displaystyle ABE\) háromszögben a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), és \(\displaystyle R\) pontok oldalfelező pontok, így a középvonalak miatt az \(\displaystyle APQR\) négyszög paralelogramma. Az \(\displaystyle RKLM\) négyszög szintén paralelogramma, mert egy négyszög oldalainak felezőpontjai paralelogrammát határoznak meg.
Statisztika:
166 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 123 versenyző. 4 pontot kapott: 14 versenyző. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 9 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai