KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1147. Solve the equation \sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1}=x\sqrt x.

(5 points)

Deadline expired on 10 January 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az egyenlet értelmezési tartománya \(\displaystyle x\geq1\). Emeljük négyzetre mindkét oldalt:

\(\displaystyle x^2-1+2\sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1}+x-1=x^3.\)

Rendezve és átalakítva az egyenletet:

\(\displaystyle 0=x^3-x^2-x+2-2\sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1},\)

\(\displaystyle 0=(x^2-1)(x-1)-2\sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1}+1,\)

\(\displaystyle 0=(\sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1}-1)^2.\)

Vagyis \(\displaystyle \sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1}=1\). Emeljünk négyzetre:

\(\displaystyle (x^2-1)(x-1)=1,\)

amiből

\(\displaystyle x^3-x^2-x+1=1,\)

\(\displaystyle x(x^2-x-1)=0.\)

Az \(\displaystyle x_1=0\) nem eleme az értelmezési tartománynak. A másodfokú tényező gyökei \(\displaystyle x_{2,3}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}\), ebből a kisebbik szintén nincs benne az értelmezési tartományban. Így az egyetlen megoldás \(\displaystyle x_3=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1,618\).

Megjegyzés: A legtöbb megoldó új ismeretlent vezetett be a következő kifejezések valamelyikére:

1) \(\displaystyle x^3-x^2-x-1\), vagy ennek eltoltja;

2) \(\displaystyle x^3-x^2-x-1\) vagy eltoltjának a gyökére;

3) két négyzetre emelés és \(\displaystyle x^4\)-nel való osztás után \(\displaystyle x-1/x\) helyére;

4) az eredeti egyenlet átrendezése és négyzetre emelése után \(\displaystyle x^2-x\) helyére;

5) az eredeti egyenlet átrendezése és négyzetre emelése után \(\displaystyle x^2-x\) gyökére;

6) 1-2 négyzetre emelés után felismerte, hogy teljes négyzetről van szó.


Statistics on problem C. 1147.
266 students sent a solution.
5 points:165 students.
4 points:48 students.
3 points:13 students.
2 points:9 students.
1 point:9 students.
0 point:17 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley