Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1147. (December 2012)

C. 1147. Solve the equation \sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1}=x\sqrt x.

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet értelmezési tartománya \(\displaystyle x\geq1\). Emeljük négyzetre mindkét oldalt:

\(\displaystyle x^2-1+2\sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1}+x-1=x^3.\)

Rendezve és átalakítva az egyenletet:

\(\displaystyle 0=x^3-x^2-x+2-2\sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1},\)

\(\displaystyle 0=(x^2-1)(x-1)-2\sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1}+1,\)

\(\displaystyle 0=(\sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1}-1)^2.\)

Vagyis \(\displaystyle \sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1}=1\). Emeljünk négyzetre:

\(\displaystyle (x^2-1)(x-1)=1,\)

amiből

\(\displaystyle x^3-x^2-x+1=1,\)

\(\displaystyle x(x^2-x-1)=0.\)

Az \(\displaystyle x_1=0\) nem eleme az értelmezési tartománynak. A másodfokú tényező gyökei \(\displaystyle x_{2,3}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}\), ebből a kisebbik szintén nincs benne az értelmezési tartományban. Így az egyetlen megoldás \(\displaystyle x_3=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1,618\).

Megjegyzés: A legtöbb megoldó új ismeretlent vezetett be a következő kifejezések valamelyikére:

1) \(\displaystyle x^3-x^2-x-1\), vagy ennek eltoltja;

2) \(\displaystyle x^3-x^2-x-1\) vagy eltoltjának a gyökére;

3) két négyzetre emelés és \(\displaystyle x^4\)-nel való osztás után \(\displaystyle x-1/x\) helyére;

4) az eredeti egyenlet átrendezése és négyzetre emelése után \(\displaystyle x^2-x\) helyére;

5) az eredeti egyenlet átrendezése és négyzetre emelése után \(\displaystyle x^2-x\) gyökére;

6) 1-2 négyzetre emelés után felismerte, hogy teljes négyzetről van szó.


Statistics:

266 students sent a solution.
5 points:165 students.
4 points:48 students.
3 points:13 students.
2 points:9 students.
1 point:9 students.
0 point:17 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012