KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1147. (December 2012)

C. 1147. Solve the equation \sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1}=x\sqrt x.

(5 pont)

Deadline expired on 10 January 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet értelmezési tartománya \(\displaystyle x\geq1\). Emeljük négyzetre mindkét oldalt:

\(\displaystyle x^2-1+2\sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1}+x-1=x^3.\)

Rendezve és átalakítva az egyenletet:

\(\displaystyle 0=x^3-x^2-x+2-2\sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1},\)

\(\displaystyle 0=(x^2-1)(x-1)-2\sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1}+1,\)

\(\displaystyle 0=(\sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1}-1)^2.\)

Vagyis \(\displaystyle \sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1}=1\). Emeljünk négyzetre:

\(\displaystyle (x^2-1)(x-1)=1,\)

amiből

\(\displaystyle x^3-x^2-x+1=1,\)

\(\displaystyle x(x^2-x-1)=0.\)

Az \(\displaystyle x_1=0\) nem eleme az értelmezési tartománynak. A másodfokú tényező gyökei \(\displaystyle x_{2,3}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}\), ebből a kisebbik szintén nincs benne az értelmezési tartományban. Így az egyetlen megoldás \(\displaystyle x_3=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1,618\).

Megjegyzés: A legtöbb megoldó új ismeretlent vezetett be a következő kifejezések valamelyikére:

1) \(\displaystyle x^3-x^2-x-1\), vagy ennek eltoltja;

2) \(\displaystyle x^3-x^2-x-1\) vagy eltoltjának a gyökére;

3) két négyzetre emelés és \(\displaystyle x^4\)-nel való osztás után \(\displaystyle x-1/x\) helyére;

4) az eredeti egyenlet átrendezése és négyzetre emelése után \(\displaystyle x^2-x\) helyére;

5) az eredeti egyenlet átrendezése és négyzetre emelése után \(\displaystyle x^2-x\) gyökére;

6) 1-2 négyzetre emelés után felismerte, hogy teljes négyzetről van szó.


Statistics:

266 students sent a solution.
5 points:165 students.
4 points:48 students.
3 points:13 students.
2 points:9 students.
1 point:9 students.
0 point:17 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley