A C. 1149. feladat (2012. december) |
C. 1149. Egy háromnál nagyobb elemszámú halmazról tudjuk, hogy az egyelemű, a kételemű és a háromelemű részhalmazainak száma egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Hány elemű a halmaz?
(5 pont)
A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a halmaz \(\displaystyle n\) elemű. Ekkor felírható: \(\displaystyle \binom n1 +\binom n3 =2\binom n2\), ahol \(\displaystyle n\geq3\). Ebből rendezéssel:
\(\displaystyle n+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=2\cdot\frac{n(n-1)}{2},\)
\(\displaystyle 6n+n(n-1)(n-2)=6n(n-1).\)
Osztva \(\displaystyle n\neq0\)-val:
\(\displaystyle 6+(n-1)(n-2)=6(n-1),\)
\(\displaystyle n^2-9n+14=(n-2)(n-7)=0.\)
Mivel \(\displaystyle n\geq3\), ezért az egyetlen megoldás \(\displaystyle n=7\), a halmaz 7 elemű.
Statisztika:
284 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 132 versenyző. 4 pontot kapott: 96 versenyző. 3 pontot kapott: 23 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 9 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat.
A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai