A C. 1150. feladat (2013. január) |
C. 1150. Egy kockás papírra páratlan darabszámú kisnégyzetből álló négyzetet rajzoltunk. A rácsegyenesek mentén olyan zárt töröttvonalat szeretnénk rajzolni, amely minden, a négyzet belsejében és határvonalán lévő rácsponton áthalad pontosan egyszer, és nem lép ki a négyzetből. Adjuk meg a töröttvonal hosszát a nagy négyzet oldalhosszával.
(5 pont)
A beküldési határidő 2013. február 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyenek a kisnégyzetek egységnyi hosszúak, a nagy négyzet oldalának hossza pedig legyen \(\displaystyle a\). A négyzet minden (belső és a határvonalon lévő) rácspontjához két, egységnyi hosszú szakasz csatlakozik. Tekintsünk egy rácspontot a töröttvonal csúcsának, két rácspontot összekötő egységszakaszt pedig a töröttvonal egy oldalának. A töröttvonalnak \(\displaystyle (a+1)^2\) csúcsa, és így ugyanennyi oldala van. Vagyis a töröttvonal hossza: \(\displaystyle (a+1)^2\).
Ilyen töröttvonal valóban létezik:
Statisztika:
258 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 94 versenyző. 4 pontot kapott: 55 versenyző. 3 pontot kapott: 20 versenyző. 2 pontot kapott: 47 versenyző. 1 pontot kapott: 26 versenyző. 0 pontot kapott: 16 versenyző.
A KöMaL 2013. januári matematika feladatai