A C. 1150. feladat (2013. január)

C. 1150. Egy kockás papírra páratlan darabszámú kisnégyzetből álló négyzetet rajzoltunk. A rácsegyenesek mentén olyan zárt töröttvonalat szeretnénk rajzolni, amely minden, a négyzet belsejében és határvonalán lévő rácsponton áthalad pontosan egyszer, és nem lép ki a négyzetből. Adjuk meg a töröttvonal hosszát a nagy négyzet oldalhosszával.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. február 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a kisnégyzetek egységnyi hosszúak, a nagy négyzet oldalának hossza pedig legyen \(\displaystyle a\). A négyzet minden (belső és a határvonalon lévő) rácspontjához két, egységnyi hosszú szakasz csatlakozik. Tekintsünk egy rácspontot a töröttvonal csúcsának, két rácspontot összekötő egységszakaszt pedig a töröttvonal egy oldalának. A töröttvonalnak \(\displaystyle (a+1)^2\) csúcsa, és így ugyanennyi oldala van. Vagyis a töröttvonal hossza: \(\displaystyle (a+1)^2\).

Ilyen töröttvonal valóban létezik:

Statisztika:

258 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	94 versenyző.
4 pontot kapott:	55 versenyző.
3 pontot kapott:	20 versenyző.
2 pontot kapott:	47 versenyző.
1 pontot kapott:	26 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.

A KöMaL 2013. januári matematika feladatai