KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1154. Is there an arithmetic progression in which the sum of the first n terms is n, the sum of the first 2n terms is n2, and the sum of the first 3n terms is n3?

(5 points)

Deadline expired on 11 February 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A sorozat első elemét jelölje \(\displaystyle a_1\), a differenciát pedig \(\displaystyle d\). Ekkor:

\(\displaystyle s_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n=n, \)

\(\displaystyle s_{2n}=\frac{2a_1+(2n-1)d}{2}\cdot 2n=n^2, \)

\(\displaystyle s_{3n}=\frac{2a_1+(3n-1)d}{2}\cdot 3n=n^3. \)

Az első egyenletből:

(1)\(\displaystyle 1=a_1+\frac{(n-1)d}{2},\)

a másodikból:

(2)\(\displaystyle \frac n2=a_1+\frac{(2n-1)d}{2},\)

a harmadikból:

(3)\(\displaystyle \frac {n^2}{3}=a_1+\frac{(3n-1)d}{2}.\)

2)-ből kivonva 1)-et:

\(\displaystyle \frac n2-1=\frac n2\cdot d,\)

\(\displaystyle n-2=nd.\)

3)-ból 1)-et kivonva:

\(\displaystyle \frac{n^2}{3}-1=nd.\)

A két kapott egyenlet jobb bal oldala egyenlő, így a bal oldaluk is az:

\(\displaystyle \frac{n^2}{3}-1=n-2,\)

\(\displaystyle \frac{n^2}{3}-n+1=0,\)

\(\displaystyle n^2-3n+3=0.\)

Ennek az egyenletnek a diszkriminánsa negatív, így nincs megoldása.


Statistics on problem C. 1154.
202 students sent a solution.
5 points:127 students.
4 points:13 students.
3 points:18 students.
2 points:7 students.
1 point:10 students.
0 point:27 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley