KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1156. The diagram shows a sketch of a crescent-shaped pendant with line symmetry. The crescent is bounded by a semicircle of radius 20 mm and another circular arc of radius 25 mm. Determine the radius of the shaded circles.

(5 points)

Deadline expired on 11 March 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Tekintsük az alábbi ábrát. Legyen 1 egység 5 mm, mert úgy egyszerűbb lesz a számolás.

A feladat az \(\displaystyle A\) középpontú kör \(\displaystyle r\) sugarát kérdezi. Mivel \(\displaystyle D\) az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle C\) sugarú körök érintési pontja, azért \(\displaystyle AD=r\) és \(\displaystyle DC=5\). Mivel \(\displaystyle E\) a \(\displaystyle B\) és a \(\displaystyle C\) középpontú körök érintési pontja, azért \(\displaystyle BE=1\) és \(\displaystyle EF=4-2\cdot1=2\). Innen \(\displaystyle FC=EC-2=5-2=3\). Végül \(\displaystyle H\) az \(\displaystyle A\) és az \(\displaystyle F\) középpontú körök érintési pontja, azért \(\displaystyle HA=r\) és így \(\displaystyle AF=HF-r=4-r\).

Írjuk fel a koszinusztételt az \(\displaystyle ABF\) háromszögre, majd fejezzük ki \(\displaystyle \cos\alpha\)-t:

\(\displaystyle (1+r)^2=(4-r)^2+3^2-2\cdot(4-r)\cdot3\cos\alpha,\)

(1)\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{(4-r)^2+3^2-(1+r)^2}{6(4-r)}.\)

Írjuk fel a koszinusztételt az \(\displaystyle AFC\) háromszögre:

\(\displaystyle (5+r)^2=(4-r)^2+3^2+2\cdot(4-r)\cdot3\cos\alpha.\)

Ebből is kifejezhető \(\displaystyle \cos\alpha\):

(2)\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{(5+r)^2-(4-r)^2-9}{6(4-r)}.\)

Mivel (1) és (2) bal oldala megegyezik, ezért jobb oldaluk is egyenlő. Ezt felírva, majd az egyenletet rendezve:

\(\displaystyle \frac{(4-r)^2+3^2-(1+r)^2}{6(4-r)}=\frac{(5+r)^2-(4-r)^2-9}{6(4-r)},\)

\(\displaystyle 16+r^2-8r+9-1-r^2-2r=25+r^2+10r-16-r^2+8r-9,\)

\(\displaystyle 24=28r,\)

\(\displaystyle r=\frac{24}{28}=\frac67.\)

Mivel 1 egység 5 mm, így a kérdéses kör sugara \(\displaystyle \frac{30}{7}\) mm.


Statistics on problem C. 1156.
104 students sent a solution.
5 points:58 students.
4 points:9 students.
3 points:9 students.
2 points:6 students.
1 point:13 students.
0 point:9 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley