KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1159. (February 2013)

C. 1159. Consider all non-congruent rectangles whose side lengths are two distinct elements selected from the set \{1; 2; \ldots; 100\}. What is the total area of all such rectangles?

(5 pont)

Deadline expired on 11 March 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feladatot tetszőleges \(\displaystyle n\) pozitív egész esetére oldjuk meg. A területösszegben az 1, 2, ..., \(\displaystyle n\) számok egymással vett szorzatai szerepelnek, kivéve a négyzetszámokat. Vagyis a keresett összeg:

\(\displaystyle \frac{(1+2+\dots+n)^2-(1^2+2^2+\dots+n^2)}{2}=\frac12\cdot\left(\left(\frac{(n+1)n}{2}\right)^2-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)=\)

\(\displaystyle =\frac{(n+1)^2n^2}{8}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}.\)

Ha \(\displaystyle n\) helyébe behelyettesítjük a 100-at, akkor az eredmény: 12582075.


Statistics:

164 students sent a solution.
5 points:75 students.
4 points:22 students.
3 points:23 students.
2 points:15 students.
1 point:12 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:10 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley