Problem C. 1162. (March 2013)
C. 1162. A circle is drawn over the shorter diagonal AC=a of a parallelogram ABCD. The intersections of the circle and the parallelogram form the hexagon AIJCKL, whose sides have lengths , b, b,
, b, b in this order. Determine the sides and angles of the parallelogram.
(5 pont)
Deadline expired on April 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Ha a \(\displaystyle CAB\angle\) legalább \(\displaystyle 90^{\circ}\)-os, akkor nem keletkezik hatszög.
Tehát a \(\displaystyle CAB\angle\) hegyesszög, és így az \(\displaystyle ABC\) háromszög minden szöge az.
Tudjuk, hogy \(\displaystyle AI=CK=a/2\) és \(\displaystyle IJ=JC=KL=LA=a/2\). Mivel a kör átmérője \(\displaystyle a\), ezért az \(\displaystyle a/2\) hosszú szakaszokhoz \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os középponti szög tartozik. Mivel a \(\displaystyle CK\), \(\displaystyle KL\) és \(\displaystyle LA\) szakaszokhoz tartozó középponti szögek összege \(\displaystyle 180^{\circ}\), ezért a \(\displaystyle CK\) szakasznak is \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os a középponti szöge. Ebből az is következik, hogy \(\displaystyle CK=KL\), vagyis \(\displaystyle b=a/2\).
Ezek szerint az \(\displaystyle AOL\), \(\displaystyle LOK\) és \(\displaystyle KOC\) háromszögek szabályosak, így összes szögük \(\displaystyle 60^{\circ}\), és így \(\displaystyle OAL\angle=OCK\angle=60^{\circ}\). Az \(\displaystyle ACD\) háromszög \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) csúcsánál levő szögek tehát \(\displaystyle 60^{\circ}\)-osak, vagyis az \(\displaystyle ACD\) háromszög szabályos, \(\displaystyle ADC\angle=60^{\circ}\) és \(\displaystyle AD=DC=AC=a\). A középpontos szimmetria miatt így a paralelogramma szögeinek mérete \(\displaystyle 60^{\circ}\), illetve \(\displaystyle 120^{\circ}\) és minden oldalának hossza \(\displaystyle a\).
Statistics:
155 students sent a solution. 5 points: 108 students. 4 points: 21 students. 3 points: 15 students. 2 points: 2 students. 1 point: 5 students. 0 point: 4 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2013