KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1163. (March 2013)

C. 1163. For what number pairs x, y will the numbers x, xlog x, ylog y, {(xy)}^{\log\, (xy)} be consecutive terms of a geometric progression? (log denotes decimal logarithm.)

Suggested by A. Balga, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on 10 April 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Nyilván \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y>0\). Az adott számok pontosan akkor lesznek egy mértani sorozat egymást követő elemei, ha 10-es alapú logaritmusuk: \(\displaystyle \lg x\), \(\displaystyle \lg(x^{\lg x})\), \(\displaystyle \lg(y^{\lg y})\), \(\displaystyle \lg((xy)^{\lg xy})\) egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A logaritmus azonosságai miatt \(\displaystyle \lg(a^{\lg a})=\lg^2a\). Tudjuk tehát, hogy \(\displaystyle \lg x\), \(\displaystyle \lg^2x\), \(\displaystyle \lg^2y\), \(\displaystyle \lg^2(xy)\) egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Ebből:

1)\(\displaystyle \lg^2(xy)-\lg^2y=\lg^2y-\lg^2x;\)

és

2)\(\displaystyle \lg^2y-\lg^2x=\lg^2x-\lg x.\)

Az 1) egyenletet rendezve:

\(\displaystyle [\lg(xy)+\lg y][\lg xy-\lg y]=\lg^2y-\lg^2x,\)

\(\displaystyle [\lg x+2\lg y]\cdot\lg x=\lg^2y-\lg^2x,\)

\(\displaystyle \lg^2x+2\lg x\lg y=\lg^2y-\lg^2x,\)

3)\(\displaystyle 0=2\lg^2x+2\lg x\lg y-\lg^2y.\)

A 2) egyenletből pedig:

4)\(\displaystyle 0=2\lg^2x-\lg x-\lg^2y.\)

A 3) egyenletből a 4)-et kivonva:

\(\displaystyle 0=2\lg x\lg y+ \lg x=\lg x(2\lg y+1).\)

Innen \(\displaystyle \lg x=0\) vagy \(\displaystyle 2\lg y+1=0\).

Az első esetben \(\displaystyle x_1=1\), amiből \(\displaystyle y_1=1\).

A második esetben \(\displaystyle \lg y=-\frac12\), amiből \(\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{10}}\), és ebből \(\displaystyle 0=2\lg^2 x-\lg x-\frac14\), vagyis \(\displaystyle \lg x=\frac{1\pm\sqrt3}{4}\). Az ebből kapott megoldások: \(\displaystyle x_2=10^{\frac{1+\sqrt3}{2}}\), \(\displaystyle y_2=\frac{1}{\sqrt{10}}\); \(\displaystyle x_3=10^{\frac{1-\sqrt3}{2}}\), \(\displaystyle y_3=\frac{1}{\sqrt{10}}\).


Statistics:

83 students sent a solution.
5 points:Ábel Mihály, Bálint Karola, Bauer Márton, Bekő Mária, Bereczki Zoltán, Borsay Tamás, Csernák Tamás, Csibi Levente, Fehér Zsuzsanna, Fekete Panna, Fellner Máté, Fülep Andrea , Gyurcsik Dóra, Hegel Patrik, Hegyesi János Géza, Holczer András, Horeftos Leon, Horváth 016 Gábor, Horváth 424 Orsolya, Juhász 995 Mátyás Péter, Kovács 148 Dávid, Kovács 972 Márton, Köte Ákos, Kranczler Dóra, Lajkó Kálmán, Lengyel Ádám, Máté Bálint, Nagyiványi Nadine, Németh Klára Anna, Páli Petra, Qian Lívia, Radó Hanna, Regős Krisztina, Schrettner Bálint, Széles Katalin, Szilágyi Krisztina, Telek Máté László, Temesvári Fanni, Tóth Adrián, Tóth Zsófia, Trinyik Flóra, Vágó Ákos, Varga 149 Imre Károly, Varga 911 Szabolcs, Varga Rudolf, Williams Kada, Yazmurad Gulmammedov.
4 points:11 students.
3 points:4 students.
2 points:9 students.
1 point:11 students.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley