KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1168. (April 2013)

C. 1168. Prove that a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}\le 1.

(5 pont)

Deadline expired on 10 May 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kifejezés akkor van értelmezve, ha \(\displaystyle -1\leq a\leq 1\) és \(\displaystyle -1\leq b\leq 1\).

Tetszőleges valós \(\displaystyle x\) szám esetén \(\displaystyle x\leq|x|=\sqrt{x^2}\). Ezt és a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget felhasználva:

\(\displaystyle a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}\leq |a|\sqrt{1-b^2}+|b|\sqrt{1-a^2}=\)

\(\displaystyle =\sqrt{a^2}\sqrt{1-b^2}+\sqrt{b^2}\sqrt{1-a^2}\leq\frac{a^2+1-b^2}{2}+\frac{b^2+1-a^2}{2}=1.\)

Egyenlőség \(\displaystyle a,b>0\), \(\displaystyle a^2+b^2=1\) esetén áll fenn.


Statistics:

105 students sent a solution.
5 points:Bauer Márton, Beke 997 Tamás, Bereczki Zoltán, Borbényi Márton, Boros Dániel, Csernák Tamás, Csibi Levente, Dreiszker Zsóka, Fehér Zsuzsanna, Fekete Panna, Fülep Andrea , Gyurcsik Dóra, Halasi-Czalbert Pál, Hegel Patrik, Hegyesi János Géza, Horváth 016 Gábor, Ircsik Péter, Iván Viktória, Juhász 995 Mátyás Péter, Kovács 148 Dávid, Kovács-Deák Máté, Köte Ákos, Kranczler Dóra, Lajkó Kálmán, Lengyel Ádám, Molnár-Sáska Zoltán, Páli Petra, Pammer Tamás, Porupsánszki István, Rimóczi Alma, Szabó 157 Dániel, Sziegl Benedek, Temesvári Fanni, Tóth Adrián, Tóth Zsófia, Vágó Ákos, Varga 149 Imre Károly, Varga 911 Szabolcs, Varga Rudolf, Várkonyi Dorka, Werkmann Virág Anna, Williams Kada, Zsakó Ágnes, Zsiros Ádám.
4 points:27 students.
3 points:12 students.
2 points:2 students.
1 point:5 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley