Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1168. (April 2013)

C. 1168. Prove that a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}\le 1.

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kifejezés akkor van értelmezve, ha \(\displaystyle -1\leq a\leq 1\) és \(\displaystyle -1\leq b\leq 1\).

Tetszőleges valós \(\displaystyle x\) szám esetén \(\displaystyle x\leq|x|=\sqrt{x^2}\). Ezt és a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget felhasználva:

\(\displaystyle a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}\leq |a|\sqrt{1-b^2}+|b|\sqrt{1-a^2}=\)

\(\displaystyle =\sqrt{a^2}\sqrt{1-b^2}+\sqrt{b^2}\sqrt{1-a^2}\leq\frac{a^2+1-b^2}{2}+\frac{b^2+1-a^2}{2}=1.\)

Egyenlőség \(\displaystyle a,b>0\), \(\displaystyle a^2+b^2=1\) esetén áll fenn.


Statistics:

105 students sent a solution.
5 points:Bauer Márton, Beke 997 Tamás, Bereczki Zoltán, Borbényi Márton, Boros Dániel, Csernák Tamás, Csibi Levente, Dreiszker Zsóka, Fehér Zsuzsanna, Fekete Panna, Fülep Andrea , Gyurcsik Dóra, Halasi-Czalbert Pál, Hegel Patrik, Hegyesi János Géza, Horváth 016 Gábor, Ircsik Péter, Iván Viktória, Juhász 995 Mátyás Péter, Kovács 148 Dávid, Kovács-Deák Máté, Köte Ákos, Kranczler Dóra, Lajkó Kálmán, Lengyel Ádám, Molnár-Sáska Zoltán, Páli Petra, Pammer Tamás, Porupsánszki István, Rimóczi Alma, Szabó 157 Dániel, Sziegl Benedek, Temesvári Fanni, Tóth Adrián, Tóth Zsófia, Vágó Ákos, Varga 149 Imre Károly, Varga 911 Szabolcs, Varga Rudolf, Várkonyi Dorka, Werkmann Virág Anna, Williams Kada, Zsakó Ágnes, Zsiros Ádám.
4 points:27 students.
3 points:12 students.
2 points:2 students.
1 point:5 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2013