KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1169. Consider a sphere of diameter d, a cylinder whose diameter and height are both d, and a cone of base diameter d. What may be the height of the cone if the volumes of the three solids form an arithmetic progression in some order?

(5 points)

Deadline expired on 10 May 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A gömb, a henger és a kúp térfogata rendre \(\displaystyle V_{g}=\frac{\pi}{6}d^3\), \(\displaystyle V_h=2\pi\cdot\left(\frac d2\right)^3=\frac{\pi}{4}d^3\) és \(\displaystyle V_k=\frac{\pi}{3}\cdot\left(\frac d2\right)^2\cdot m=\frac{\pi}{12}d^2m\).

Mivel \(\displaystyle \frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{4}\), ezért \(\displaystyle V_g<V_h\). Így három esetet kell megvizsgálnunk. 1. eset: \(\displaystyle V_k<V_g<V_h\); 2. eset: \(\displaystyle V_g<V_h<V_k\); 3. eset: \(\displaystyle V_g<V_k<V_h\).

1. eset:

\(\displaystyle \frac{\pi}{4}d^3-\frac{\pi}{6}d^3=\frac{\pi}{6}d^3-\frac{\pi}{12}d^2m.\)

Mindkét oldalt \(\displaystyle \frac{12}{d^2\pi}\)-vel szorozva (nyilván \(\displaystyle d\neq0\)) kapjuk, hogy \(\displaystyle 3d-2d=2d-m\), amiből \(\displaystyle m_1=d\) következik.

2. eset:

\(\displaystyle \frac{\pi}{12}d^2m-\frac{\pi}{4}d^3=\frac{\pi}{4}d^3-\frac{\pi}{6}d^3.\)

Mindkét oldalt \(\displaystyle \frac{12}{d^2\pi}\)-vel szorozva kapjuk, hogy \(\displaystyle m-3d=3d-2d\), amiből \(\displaystyle m_2=4d\) következik.

3. eset: \(\displaystyle 2V_k=V_g+V_h\), vagyis \(\displaystyle \frac{2\pi}{12}d^2m=\frac{\pi}{6}d^3+\frac{\pi}{4}d^3=\frac{5\pi}{12}d^3\). Ebből pedig \(\displaystyle \frac{6}{d^2\pi}\)-vel szorozva \(\displaystyle m_3=2,5d\) következik.


Statistics on problem C. 1169.
135 students sent a solution.
5 points:86 students.
4 points:15 students.
2 points:14 students.
1 point:9 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley