KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1173. Consider the line y=\frac72 x. Find the distance from the line to those points of integer coordinates that are the closest to the line but do not lie on the line.

(5 points)

Deadline expired on 10 June 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Tekintsük az ábrát. Látható, hogy elég az \(\displaystyle OP\) szakasz pontjait vizsgálni, hiszen az elhelyezkedés ismétlődik. Itt pedig elég a fekete pontoknak az egyenestől való távolságát vizsgálni. Mindegyik távolság egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága: az \(\displaystyle A\) ponté az \(\displaystyle OAN\), a \(\displaystyle B\) ponté a \(\displaystyle BCN\) stb., a \(\displaystyle H\) ponté a \(\displaystyle THN\), az \(\displaystyle I\) ponté a \(\displaystyle TIP\) stb., az \(\displaystyle M\) ponté a \(\displaystyle VMP\) háromszög magassága. Ezek a háromszögek mind hasonlók egymáshoz, hiszen derékszögűek, és egyik hegyeszögük is megegyezik, hiszen tangense mindegyik esetben \(\displaystyle 7/2\). Hasonló háromszögek közül annak a megfelelő magassága a legkisebb, amelyiknek a hosszabbik befogója a legkisebb a háromszögek közül. Ez a mi esetünkben az \(\displaystyle SGN\) és a \(\displaystyle THN\) háromszög, melyek hosszabbik befogója 1/2, vagyis az \(\displaystyle OWP\) háromszög befogójának 14-ede. Az \(\displaystyle OWP\) háromszög területének kétszerese: \(\displaystyle 2t=2\cdot7=\sqrt{2^2+7^2}\cdot m\), amiből \(\displaystyle m=\frac{14}{\sqrt{53}}\). A keresett távolság ennek a 14-ed része, vagyis \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{53}}\).


Statistics on problem C. 1173.
84 students sent a solution.
5 points:52 students.
4 points:15 students.
3 points:7 students.
2 points:5 students.
0 point:5 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley