KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1173. (May 2013)

C. 1173. Consider the line y=\frac72 x. Find the distance from the line to those points of integer coordinates that are the closest to the line but do not lie on the line.

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsük az ábrát. Látható, hogy elég az \(\displaystyle OP\) szakasz pontjait vizsgálni, hiszen az elhelyezkedés ismétlődik. Itt pedig elég a fekete pontoknak az egyenestől való távolságát vizsgálni. Mindegyik távolság egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága: az \(\displaystyle A\) ponté az \(\displaystyle OAN\), a \(\displaystyle B\) ponté a \(\displaystyle BCN\) stb., a \(\displaystyle H\) ponté a \(\displaystyle THN\), az \(\displaystyle I\) ponté a \(\displaystyle TIP\) stb., az \(\displaystyle M\) ponté a \(\displaystyle VMP\) háromszög magassága. Ezek a háromszögek mind hasonlók egymáshoz, hiszen derékszögűek, és egyik hegyeszögük is megegyezik, hiszen tangense mindegyik esetben \(\displaystyle 7/2\). Hasonló háromszögek közül annak a megfelelő magassága a legkisebb, amelyiknek a hosszabbik befogója a legkisebb a háromszögek közül. Ez a mi esetünkben az \(\displaystyle SGN\) és a \(\displaystyle THN\) háromszög, melyek hosszabbik befogója 1/2, vagyis az \(\displaystyle OWP\) háromszög befogójának 14-ede. Az \(\displaystyle OWP\) háromszög területének kétszerese: \(\displaystyle 2t=2\cdot7=\sqrt{2^2+7^2}\cdot m\), amiből \(\displaystyle m=\frac{14}{\sqrt{53}}\). A keresett távolság ennek a 14-ed része, vagyis \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{53}}\).


Statistics:

84 students sent a solution.
5 points:52 students.
4 points:15 students.
3 points:7 students.
2 points:5 students.
0 point:5 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley