Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1175. (September 2013)

C. 1175. Define the operation \therefore as follows on the set of real numbers: a\therefore b=(a-2)(b-2). Is this operation associative?

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás: Nézzük az \(\displaystyle (a\therefore b)\therefore c\) és az \(\displaystyle a\therefore (b\therefore c)\) kifejezéseket. A művelet definíciója szerint ezek így írhatók:

\(\displaystyle (a\therefore b)\therefore c=[(a-2)(b-2)-2]\cdot(c-2)=\)

\(\displaystyle =[ab-2a-2b+2](c-2)=abc-2ac-2bc+2c-2ab+4a+4b-4;\)

\(\displaystyle a\therefore (b\therefore c)=(a-2)\cdot[(b-2)(c-2)-2]=\)

\(\displaystyle =(a-2)[bc-2b-2c+2]=abc-2ac-2bc+4c-2ab+2a+4b-4.\)

Látható, hogy a két kifejezés nem azonos, csak \(\displaystyle a=c\) esetén igaz az egyenlőség. Vagyis a \(\displaystyle \therefore\) műveletet nem asszociatív.

2. megoldás: Ha találunk olyan \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számhármast, melyre nem teljesül, hogy \(\displaystyle (a\therefore b)\therefore c=a\therefore (b\therefore c)\), akkor a művelet nem asszociatív.

Tekintsük az \(\displaystyle a=1\), \(\displaystyle b=2\), \(\displaystyle c=3\) esetet:

\(\displaystyle (1\therefore 2)\therefore 3=((1-2)(2-2))\therefore 3=0\therefore 3=(0-2)(3-2)=-2,\)

\(\displaystyle 1\therefore (2\therefore 3)=1\therefore ((2-2)(3-2))=1\therefore 0=(1-2)(0-2)=2.\)

Mivel \(\displaystyle -2\neq2\), ezért a művelet nem asszociatív.


Statistics:

209 students sent a solution.
5 points:124 students.
4 points:13 students.
3 points:3 students.
2 points:5 students.
1 point:39 students.
0 point:20 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2013