KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1177. (September 2013)

C. 1177. For what positive integer n will the number 1!+3!+...+(2n-1)! be a perfect square?

(5 pont)

Deadline expired on 10 October 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Ha n=1, akkor az összeg 1, ami négyzetszám. Ha n=2, akkor az összeg 7, ami nem négyzetszám. Ha pedig n\geq3, akkor az összegben az 5!, a 7! és a többi tag egyik tényezője 4, vagyis a harmadik tagtól kezdve minden tag osztható 4-gyel. Így az összeg 4-gyel való osztási maradéka 1!+3!=7 osztási maradéka, ami 3. Viszont egy páratlan négyzetszám 4-gyel osztva 1 maradékot ad: (2k+1)2=4k2+4k+1.

Vagyis kérdéses összeg csak n=1 esetén lesz négyzetszám.

2. megoldás. Ha n=1, akkor a kifejezés értéke 1!=1, vagyis négyzetszám. Ha n=2, akkor a kifejezés értéke 1!+3!=7, ami nem négyzetszám. Ha n>2, akkor a (2n-1)! utolsó jegye 0, vagyis az 1!+3!+...+(2n+1)! utolsó jegye ekkor mindig 7 lesz. A négyzetszámok végződései: 0, 1, 4, 9, 6, 5. Vagyis nem lehet négyzetszám. Az egyedüli megoldás, ha n=1.


Statistics:

300 students sent a solution.
5 points:173 students.
4 points:81 students.
3 points:24 students.
2 points:5 students.
1 point:6 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley