KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1180. (September 2013)

C. 1180. Investigate which of the squares inscribed in an acute-angled triangle has maximum side.

Suggested by R. Gyimesi

(5 pont)

Deadline expired on 10 October 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először határozzuk meg a háromszög \(\displaystyle a\) oldalára illesztett négyzet oldalának hosszát. Az \(\displaystyle AKI\) és az \(\displaystyle ABC\) háromszögek szögei egyenlők, ezért hasonlóak, és így \(\displaystyle \frac xa=\frac{m_a-x}{m_a}\), amiből \(\displaystyle x=\frac{am_a}{a+m_a}\).

Tekintsük például az \(\displaystyle a<b\) esetet. Azt kell eldöntenünk, hogy az \(\displaystyle \frac{am_a}{a+m_a}\) és a \(\displaystyle \frac{bm_b}{b+m_b}\) hosszúságú szakaszok melyike a nagyobb. Mivel \(\displaystyle am_a=2t=bm_b\), ahol \(\displaystyle t\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög területét jelöli, ezért elegendő a törtek nevezőjét összehasonlítanunk. Ennek érdekében tekintsük a két nevező eltérését:

\(\displaystyle a+m_a-(b+m_b)=a-b+\frac{2t}{a}-\frac{2t}{b}=(a-b)\left(1-\frac{2t}{ab}\right)\leq0,\)

hiszen a szorzat első tényezője negatív, a második pedig nem negatív (\(\displaystyle m_a\leq b\) miatt ugyanis \(\displaystyle 2t=am_a\leq ab\)). (Egyenlőség csak \(\displaystyle a\perp b\) esetén teljesülhet.)

Arra jutottunk tehát, hogy \(\displaystyle a<b\) esetén az \(\displaystyle a+m_a\) összeg nem lehet nagyobb a \(\displaystyle b+m_b\) összegnél, ebből kifolyólag az \(\displaystyle a\) oldalon "nyugvó" négyzet oldala legalább akkora, mint a \(\displaystyle b\) oldalra "támaszkodóé".


Statistics:

47 students sent a solution.
5 points:Bereczki Zoltán, Farkas Dóra, Hegel Patrik, Horváth Bendegúz, Kovács 972 Márton, Orbán Szandra, Sziegl Benedek, Tóth Zsófia.
4 points:Barna Kinga, Meleg András, Németh Klára Anna, Pammer Tamás, Temesvári Fanni, Tomai Fanni.
3 points:4 students.
2 points:6 students.
1 point:6 students.
0 point:17 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley