KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1183. The lattice points lying on the circle of radius 5 about the origin of the coordinate plane determine a convex polygon. What is the area of this polygon?

(5 points)

This problem is for grade 1 - 10 students only.

Deadline expired on 11 November 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az origó középpontú, 5 egység sugarú körre 12 rácspont illeszkedik, a (0;5), (5;0), (0;-5) és a (-5;0), illetve azok, melyek egy olyan derékszögű háromszög csúcsai, melynek az átfogója 5. Ilyen háromszög csak egy van, a 3, 4 és 5 egység oldalú. Az ennek megfelelő pontok a (3;4), (4;3), (3;-4), (4;-3), (-3;-4), (-4;-3), (-4;3) és a (-3;4) koordinátájú pontok.

Az így kapott tizenkétszöget 8 részre osztjuk, 4 egybevágó deltoidra, és 4 háromszögre.

A deltoidok területe egyenként \(\displaystyle \frac{5\cdot6}{2}=15\), tehát összesen \(\displaystyle 4\cdot15=60\).

A háromszögek alapja \(\displaystyle \sqrt2\), magassága \(\displaystyle 4\sqrt2-0,5\sqrt2=3,5\sqrt2\), így egy háromszög területe \(\displaystyle \frac{\sqrt2\cdot3,5\sqrt2}{2}=3,5,\) tehát összesen \(\displaystyle 4\cdot3,5=14\).

A tizenkétszög területe így \(\displaystyle 60+14=74\) egység.

Bekő Zsófia 10. o. t., Mosonmagyaróvári Kossuth Lajos Gimnázium

Megjegyzés: Egy háromszög területét megkaphatjuk másképp is, például úgy, hogy a köré írható \(\displaystyle 4\times4\)-es négyzet területéből kivonjuk három derékszögű háromszög területét.


Statistics on problem C. 1183.
219 students sent a solution.
5 points:109 students.
4 points:56 students.
3 points:17 students.
2 points:8 students.
1 point:9 students.
0 point:13 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.
Unfair, not evaluated:5 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley