KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1183. (October 2013)

C. 1183. The lattice points lying on the circle of radius 5 about the origin of the coordinate plane determine a convex polygon. What is the area of this polygon?

(5 pont)

Deadline expired on 11 November 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az origó középpontú, 5 egység sugarú körre 12 rácspont illeszkedik, a (0;5), (5;0), (0;-5) és a (-5;0), illetve azok, melyek egy olyan derékszögű háromszög csúcsai, melynek az átfogója 5. Ilyen háromszög csak egy van, a 3, 4 és 5 egység oldalú. Az ennek megfelelő pontok a (3;4), (4;3), (3;-4), (4;-3), (-3;-4), (-4;-3), (-4;3) és a (-3;4) koordinátájú pontok.

Az így kapott tizenkétszöget 8 részre osztjuk, 4 egybevágó deltoidra, és 4 háromszögre.

A deltoidok területe egyenként \(\displaystyle \frac{5\cdot6}{2}=15\), tehát összesen \(\displaystyle 4\cdot15=60\).

A háromszögek alapja \(\displaystyle \sqrt2\), magassága \(\displaystyle 4\sqrt2-0,5\sqrt2=3,5\sqrt2\), így egy háromszög területe \(\displaystyle \frac{\sqrt2\cdot3,5\sqrt2}{2}=3,5,\) tehát összesen \(\displaystyle 4\cdot3,5=14\).

A tizenkétszög területe így \(\displaystyle 60+14=74\) egység.

Bekő Zsófia 10. o. t., Mosonmagyaróvári Kossuth Lajos Gimnázium

Megjegyzés: Egy háromszög területét megkaphatjuk másképp is, például úgy, hogy a köré írható \(\displaystyle 4\times4\)-es négyzet területéből kivonjuk három derékszögű háromszög területét.


Statistics:

219 students sent a solution.
5 points:109 students.
4 points:56 students.
3 points:17 students.
2 points:8 students.
1 point:9 students.
0 point:13 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley