A C. 1183. feladat (2013. október)

C. 1183. Az origó középpontú, 5 egység sugarú körvonalra illeszkedő rácspontok meghatároznak egy konvex sokszöget. Mekkora ennek a sokszögnek a területe?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az origó középpontú, 5 egység sugarú körre 12 rácspont illeszkedik, a (0;5), (5;0), (0;-5) és a (-5;0), illetve azok, melyek egy olyan derékszögű háromszög csúcsai, melynek az átfogója 5. Ilyen háromszög csak egy van, a 3, 4 és 5 egység oldalú. Az ennek megfelelő pontok a (3;4), (4;3), (3;-4), (4;-3), (-3;-4), (-4;-3), (-4;3) és a (-3;4) koordinátájú pontok.

Az így kapott tizenkétszöget 8 részre osztjuk, 4 egybevágó deltoidra, és 4 háromszögre.

A deltoidok területe egyenként \(\displaystyle \frac{5\cdot6}{2}=15\), tehát összesen \(\displaystyle 4\cdot15=60\).

A háromszögek alapja \(\displaystyle \sqrt2\), magassága \(\displaystyle 4\sqrt2-0,5\sqrt2=3,5\sqrt2\), így egy háromszög területe \(\displaystyle \frac{\sqrt2\cdot3,5\sqrt2}{2}=3,5,\) tehát összesen \(\displaystyle 4\cdot3,5=14\).

A tizenkétszög területe így \(\displaystyle 60+14=74\) egység.

Bekő Zsófia 10. o. t., Mosonmagyaróvári Kossuth Lajos Gimnázium

Megjegyzés: Egy háromszög területét megkaphatjuk másképp is, például úgy, hogy a köré írható \(\displaystyle 4\times4\)-es négyzet területéből kivonjuk három derékszögű háromszög területét.

Statisztika:

214 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	109 versenyző.
4 pontot kapott:	56 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai