Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem C. 1184. (October 2013)

C. 1184. Prove that 52013.21008+31008.22013 is divisible by 19.

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy lehetséges átalakítás:

$\displaystyle 5^{2013}\cdot2^{1008}+3^{1008}\cdot2^{2013}=5\cdot2^{2}\cdot5^{2012}\cdot2^{1006}+3^{2}\cdot2\cdot3^{1006}\cdot2^{2012}=$

$\displaystyle =20\cdot50^{1006}+18\cdot12^{1006}=19\cdot50^{1006}+19\cdot12^{1006}+50^{1006}-12^{1006}.$

Az összeg első két tagja osztható 19-cel. Tudjuk, hogy $\displaystyle 50^{1006}-12^{1006}$ osztható $\displaystyle (50-12)$-vel, azaz $\displaystyle 2\cdot19$-cel. Ezzel az állítást igazoltuk.

### Statistics:

 216 students sent a solution. 5 points: 147 students. 4 points: 19 students. 3 points: 19 students. 2 points: 4 students. 1 point: 6 students. 0 point: 16 students. Unfair, not evaluated: 5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013