Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1185. (October 2013)

C. 1185. Determine the value of n such that 1+1^2+2+2^2+3+3^2+\ldots+n+n^2=2280.

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

\(\displaystyle 1+1^2+2+2^2+3+3^2+\ldots+n+n^2=(1+2+3+\dots+n)+(1^2+2^2+3^2+\dots+n^2)=\)

\(\displaystyle =\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\)

\(\displaystyle =\frac{n(n+1)}{2}\left(1+\frac{2n+1}{3}\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}=2280,\)

\(\displaystyle n(n+1)(n+2)=6840=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot19.\)

A 19 prímszám, \(\displaystyle 2\cdot3^2=18\) és \(\displaystyle 2^2\cdot5=20\), így a megoldás \(\displaystyle n=18\).

Próbálkozással is célhoz érünk: Mivel ez három egymást követő szám szorzata, és 6840 köbgyöke majdnem 19, ezért próbáljuk ki az \(\displaystyle n=18\)-at: \(\displaystyle 18\cdot19\cdot20=6840\), vagyis \(\displaystyle n=18\) megoldás. Ha \(\displaystyle n\) értékét növeljük, illetve csökkentjük, akkor a szorzat értéke is nő, illetve csökken - az egyetlen megoldás az \(\displaystyle n=18\).


Statistics:

312 students sent a solution.
5 points:151 students.
4 points:73 students.
3 points:63 students.
2 points:9 students.
1 point:6 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013