KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1185. Determine the value of n such that 1+1^2+2+2^2+3+3^2+\ldots+n+n^2=2280.

(5 points)

Deadline expired on 11 November 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás.

\(\displaystyle 1+1^2+2+2^2+3+3^2+\ldots+n+n^2=(1+2+3+\dots+n)+(1^2+2^2+3^2+\dots+n^2)=\)

\(\displaystyle =\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\)

\(\displaystyle =\frac{n(n+1)}{2}\left(1+\frac{2n+1}{3}\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}=2280,\)

\(\displaystyle n(n+1)(n+2)=6840=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot19.\)

A 19 prímszám, \(\displaystyle 2\cdot3^2=18\) és \(\displaystyle 2^2\cdot5=20\), így a megoldás \(\displaystyle n=18\).

Próbálkozással is célhoz érünk: Mivel ez három egymást követő szám szorzata, és 6840 köbgyöke majdnem 19, ezért próbáljuk ki az \(\displaystyle n=18\)-at: \(\displaystyle 18\cdot19\cdot20=6840\), vagyis \(\displaystyle n=18\) megoldás. Ha \(\displaystyle n\) értékét növeljük, illetve csökkentjük, akkor a szorzat értéke is nő, illetve csökken - az egyetlen megoldás az \(\displaystyle n=18\).


Statistics on problem C. 1185.
321 students sent a solution.
5 points:151 students.
4 points:73 students.
3 points:63 students.
2 points:9 students.
1 point:6 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.
Unfair, not evaluated:9 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley