KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1187. The shorter diagonal cuts a parallelogram into two triangles. Consider the inscribed circle of one triangle, and the escribed circle of the other triangle that touches the diagonal. Prove that the four points of tangency not lying on the diagonal are collinear.

(5 points)

This problem is for grade 11 - 12 students only.

Deadline expired on 11 November 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldásvázlat. Betűzzük a paralelogramma csúcsait és a két kör érintési pontait az ábra szerint. Legyen AB=CD=c, BC=DA=b és BD=a, és legyen s=(a+b+c)/2.

Az ABD háromszög oldalainak hossza a, b és c, tehát a csúcsok és a beírt kör érintési pontja közötti távolságok: AG=AH=s-a, BH=BE1=s-b és DG=DE1=s-c.

A CDB háromszög oldalainak hossza is a, b és c. A csúcsok és a BD oldalhoz hozzáírt kör érintési pontjai közötti távolságok: CF=CI=s, BI=BE2=s-b és DF=DE2=s-c.

Az AHG, BHI és DFG háromszögek egyenlő szárúak: AH=AG=s-a, BH=BI=s-b és DF=DG=s-c. Továbbá a három háromszög szárszöge ugyanakkora. Az AHG, BHI és DFG háromszögek tehát hasonlók. Ezért AHG\angle=BHI\angle, vagyis I a GH egyenesre esik; és ugyanígy HGA\angle=FGD\angle, tehát F is a GH egyenesre esik.

Megjegyzés. Mivel BE1=BE2, a két kör ugyanabban a pontban érinti a BD szakaszt.


Statistics on problem C. 1187.
33 students sent a solution.
5 points:Bekő Mária, Bereczki Zoltán, Chourfi Abdel Karim, Denke Dorottya, Farkas Dóra, Németh Klára Anna, Porupsánszki István, Szabó 157 Dániel, Szabó 524 Tímea, Sziegl Benedek, Szőke Tamás, Zsiros Ádám.
4 points:Gnandt Balázs, Hegel Patrik, Temesvári Fanni.
3 points:6 students.
2 points:7 students.
1 point:3 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley