Problem C. 1190. (November 2013)
C. 1190. Prove that if a trapezium is a cyclic quadrilateral as well as a circumscribed quadrilateral, and furthermore its diagonals are perpendicular then it must be a square.
(5 pont)
Deadline expired on December 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
I. megoldás. Ha egy trapéz húrnégyszög, vagyis húrtrapéz, akkor a szárai egyenlő hosszúak. Ha érintőnégyszög, akkor szemközti oldalainak összege egyenlő.
Mivel a húrtrapéz átlói két hasonló háromszöget határoznak meg, valamint szimmetrikus az alapok felezőmerőlegesére, ezért beírhatók az ábrába a szakaszok fenti hosszai. Írjunk fel egy-egy Pitagorasz tételt az \(\displaystyle a\), illetve a \(\displaystyle b\) átfogójú derékszögű háromszögekre: \(\displaystyle x^2+x^2=a^2\), \(\displaystyle x^2+(dx)^2=b^2\). Ezekből \(\displaystyle a=\sqrt2x\), \(\displaystyle b=\sqrt{x^2+d^2x^2}\) és \(\displaystyle da=d\sqrt 2x\).
Az érintőnégyszög szemközti oldalainak összege egyenlő:
\(\displaystyle \sqrt2x+d\sqrt2x=2\sqrt{x^2+d^2x^2}.\)
Ezt négyzetre emelve és rendezve:
\(\displaystyle 2x^2+2d^2x^2+4dx^2=4x^2+4d^2x^2,\)
\(\displaystyle 0=2x^2+2d^2x^2-4dx^2=2x^2(1+d^2-2d)=2x^2(d-1)^2.\)
Mivel \(\displaystyle x>0\), ezért ez csak \(\displaystyle d=1\) esetén lehetséges.
Ha pedig egy négyszög átlói merőlegesek, egyenlő hosszúak és felezik egymást, akkor a négyszög négyzet.
II. megoldás.
A húrnégyszög szárai egyenlő hosszúak, jelölje mindkettőt \(\displaystyle b\). Az érintőnégyszög szemközti oldalainak összeg egyenlő: \(\displaystyle a+c=2b\), amiből \(\displaystyle b=\frac{a+c}{2}\).
A húrnégyszög tengelyesen szimmetrikus, a szimmetriatengelye \(\displaystyle EF\), ahol \(\displaystyle E\) az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle F\) pedig a \(\displaystyle CD\) oldal felezőpontja. A szimmetria miatt az átlók \(\displaystyle M\) metszéspontja rajta van \(\displaystyle EF\)-en. Mivel az átlók merőlegesek egymásra, így \(\displaystyle BMA\angle=DMC\angle=90^{\circ}\). A Thalész tétel megfordítása szerint ekkor \(\displaystyle ME=\frac{AB}{2}=\frac a2\) és \(\displaystyle MF=\frac{CD}{2}=\frac c2\), így \(\displaystyle EF=ME+MF=\frac a2+\frac c2=b\).
Tehát a trapéz magassága ugyanolyan hosszú, mint a szára, így a trapéz téglalap, vagyis \(\displaystyle a=c\) is teljesül. Így \(\displaystyle b=\frac{a+a}{2}=a\), vagyis \(\displaystyle ABCD\) négyzet.
Statistics:
130 students sent a solution. 5 points: 59 students. 4 points: 9 students. 3 points: 16 students. 2 points: 10 students. 1 point: 10 students. 0 point: 14 students. Unfair, not evaluated: 12 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013