Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1192. (November 2013)

C. 1192. It can be checked by substitution that x=1 is a root of the equation \sqrt{5x^4+4x^2+3x+2\sqrt x+2}=4. Solve the equation.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Nézzük az \(\displaystyle \sqrt{5x^4+4x^2+3x+2\sqrt x+2}=4\) hozzárendelésű \(\displaystyle f(x)\) függvényt. A függvény legbővebb értelmezési tartománya a nem negatív valós számok halmaza. A függvény grafikonjáról alig tudunk valamit, de a hozzárendelési szabályában szereplő műveletek miatt megállapíthatjuk, hogy az \(\displaystyle f(x)\) függvény szigorúan monoton növekedő az értelmezési tartományán.

Tudjuk, hogy \(\displaystyle f(1)=4\). A függvény szigorú monoton növekedése miatt \(\displaystyle 0\leq x<1\) esetén \(\displaystyle f(x)<4\), \(\displaystyle 1<x\) esetén pedig \(\displaystyle f(x)>4\) lesz.

Vagyis az egyenlet egyedüli megoldása az \(\displaystyle x=1\).


Statistics:

168 students sent a solution.
5 points:127 students.
4 points:9 students.
2 points:10 students.
1 point:7 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013