Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1192. feladat (2013. november)

C. 1192. Az \sqrt{5x^4+4x^2+3x+2\sqrt x+2}=4 egyenletnek az x=1 gyöke, erről behelyettesítéssel meggyőződhetünk. Oldjuk meg az egyenletet.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Nézzük az \(\displaystyle \sqrt{5x^4+4x^2+3x+2\sqrt x+2}=4\) hozzárendelésű \(\displaystyle f(x)\) függvényt. A függvény legbővebb értelmezési tartománya a nem negatív valós számok halmaza. A függvény grafikonjáról alig tudunk valamit, de a hozzárendelési szabályában szereplő műveletek miatt megállapíthatjuk, hogy az \(\displaystyle f(x)\) függvény szigorúan monoton növekedő az értelmezési tartományán.

Tudjuk, hogy \(\displaystyle f(1)=4\). A függvény szigorú monoton növekedése miatt \(\displaystyle 0\leq x<1\) esetén \(\displaystyle f(x)<4\), \(\displaystyle 1<x\) esetén pedig \(\displaystyle f(x)>4\) lesz.

Vagyis az egyenlet egyedüli megoldása az \(\displaystyle x=1\).

Statisztika:

167 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:127 versenyző.
4 pontot kapott:8 versenyző.
2 pontot kapott:10 versenyző.
1 pontot kapott:7 versenyző.
0 pontot kapott:11 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai