KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1193. An isosceles triangle of apex angle 120o is drawn on each side of a unit square, on the outside of the square. An equilateral octagon is obtained. In comparison, consider the regular octagon in which the side of the square formed by connecting every other vertex is unity. Find the ratio of the area of the equilateral octagon to the area of the regular octagon.

(5 points)

Deadline expired on 10 December 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Egy \(\displaystyle 120^{\circ}\)-os szárszögű egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei \(\displaystyle 30^{\circ}\)-osak. Így az egyenlő oldalú nyolcszög oldalainak hossza pl. az \(\displaystyle ACF\) derékszögű háromszögből számolható: \(\displaystyle \cos30^{\circ}=AF/AC\), vagyis \(\displaystyle \sqrt3/2=(1/2)/AC\), amiből \(\displaystyle AC=1/\sqrt3\).

A nyolcszög területe az 1 oldalú négyzet és négy, az \(\displaystyle ABC\) háromszöggel egybevágó háromszög területének összegeként áll elő:

\(\displaystyle T_1=1+4\cdot1/2\cdot(1/\sqrt3)^2\cdot\sin120^{\circ}= 1+4\cdot1/2\cdot(1/3)\cdot(\sqrt3/2)=1+\sqrt3/3.\)

A szabályos nyolcszög köré írt kör sugara az egységoldalú négyzet átlójának fele, vagyis \(\displaystyle \sqrt2/2\). A nyolcszög területe megkapható nyolc egyenlő szárú háromszög területének összegeként:

\(\displaystyle T_2=8\cdot1/2\cdot(\sqrt2/2)^2\cdot\sin45^{\circ}=\)

\(\displaystyle =8\cdot1/2\cdot2/4\cdot\sqrt2/2=\sqrt2.\)

A keresett arány:

\(\displaystyle \frac{T_1}{T_2}=\frac{1+\frac{\sqrt3}{3}}{\sqrt2}=\frac{3\sqrt2+\sqrt6}{6}\approx1,12.\)


Statistics on problem C. 1193.
202 students sent a solution.
5 points:110 students.
4 points:46 students.
3 points:24 students.
2 points:7 students.
1 point:1 student.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley