KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1194. (November 2013)

C. 1194. The sum of three numbers is 6.5, and the difference of the largest and smallest numbers is 4. What is the maximum of the product of the three numbers?

(5 pont)

Deadline expired on 10 December 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a három szám \(\displaystyle a\leq b\leq c\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle c-a=4\), innen \(\displaystyle c=a+4\). Másrészt \(\displaystyle a+b+c=6,5\), vagyis \(\displaystyle a+b+a+4=6,5\), amiből \(\displaystyle b=2,5-2a\).

A három szám szorzata: \(\displaystyle abc=a(2,5-2a)(a+4)=-2a^3-5,5a^2+10a\). Vizsgáljuk ezt a kifejezést függvényként, melyet jelöljön \(\displaystyle f(a)\). A függvény zérushelyei \(\displaystyle a_1=0\), \(\displaystyle a_2=1,25\) és \(\displaystyle a_3=-4\).

A függvény deriváltja. \(\displaystyle f'(a)=-6a^2-11a+10\). Ennek zérushelyei \(\displaystyle a_4=-\frac52\) és \(\displaystyle a_5=\frac23\). A derivált \(\displaystyle a<-5/2\) és \(\displaystyle 2/3<a\) esetén negatív, tehát itt a függvény csökkenő; \(\displaystyle -5/2<a<2/3\) esetén pozitív, itt a függvény nő. A függvénynek helyi maximuma van \(\displaystyle a=2/3\) esetén, ez egyben \(\displaystyle a>0\) esetén is a függvény maximuma. Ekkor \(\displaystyle b=7/6\) és \(\displaystyle c=14/3\), szorzatuk pedig 98/27.

Azt kell csak megvizsgálni, hogy \(\displaystyle a<0\) esetén mi a helyzet. \(\displaystyle -4\) és 0 között a függvény értéke negatív, így ezt nem kell tovább vizsgálni. Ha pedig \(\displaystyle a<-4\), akkor \(\displaystyle c=a+4<0\), de ekkor \(\displaystyle b\) is negatív, így a három szám szorzata is az lenne.

Tehát a három szám szorzatának maximuma 98/27.


Statistics:

>
69 students sent a solution.
5 points:Bereczki Zoltán, Farkas Dóra, Hegyi Zoltán, Kovács 628 Márton, Kovács 972 Márton, Porupsánszki István, Sziegl Benedek, Szinyéri Máté, Zsiros Ádám.
4 points:Bálint Karola, Chourfi Abdel Karim, Daku Gábor, Denke Dorottya, Fényes Balázs, Hári Krisztina, Hegel Patrik, Horváth Bendegúz, Jeges Viktor, Kácsor Szabolcs, Krisztián Jonatán, Móricz Tamás, Paulovics Zoltán, Rápolti Kitti, Szabó Tamás Béla, Szűcs Dorina, Temesvári Fanni, Tóth Zsófia.
3 points:13 students.
2 points:6 students.
1 point:10 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley