KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1195. Let a, b and c, respectively, be the lengths of the face diagonals AF, FC and CA of a cuboid ABCDEFGH. Let \alpha, \beta and \gamma, respectively, denote the angles enclosed by the face diagonals with the diagonal BH of the cuboid. Prove that a.cos \alpha-b.cos \beta+c.cos \gamma=0 if the length of edge AB is between the lengths of the edges BC and BF.

(5 points)

This problem is for grade 11 - 12 students only.

Deadline expired on 10 December 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Rajzoljuk fel az alábbi vektorokat: \(\displaystyle \overrightarrow{BH}=\underline{t}\), \(\displaystyle \overrightarrow{AF}=\underline{a}\), \(\displaystyle \overrightarrow{FC}=\underline{b}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{CA}=\underline{c}\). Mivel \(\displaystyle \underline{a}+\underline{b}+\underline{c}=\underline{0}\), azért a három vektor összegének a \(\displaystyle \underline{t}\)-vel vett skaláris szorzata 0: \(\displaystyle (\underline{a}+\underline{b}+\underline{c})\underline{t}=0\).

A lapátlók megfelelő vektorai és \(\displaystyle \underline{t}\) által bezárt szögeket jelölje rendre \(\displaystyle \alpha'\), \(\displaystyle \beta'\) és \(\displaystyle \gamma'\). A skaláris szorzat az összeadásra nézve disztributív, így igaz, hogy \(\displaystyle \underline{a}\cdot\underline{t}+\underline{b}\cdot\underline{t}+\underline{c}\cdot\underline{t}=0\). Vagyis \(\displaystyle |\underline{a}|\cdot|\underline{t}|\cos\alpha'+|\underline{b}|\cdot|\underline{t}|\cos\beta'+|\underline{c}|\cdot|\underline{t}|\cos\gamma'=0\). Kihasználva, hogy szakaszokról van szó, és így \(\displaystyle |\underline{a}|=a\), \(\displaystyle |\underline{b}|=b\), \(\displaystyle |\underline{c}|=c\), valamint, hogy \(\displaystyle |\underline{t}|>0\), ezért oszthatunk vele:

\(\displaystyle a\cdot\cos\alpha'+b\cos\beta'+c\cos\gamma'=0.\)

Az egyenlőségben az előjelek azon múlnak, hogy \(\displaystyle \alpha'\), \(\displaystyle \beta'\) és \(\displaystyle \gamma'\) közül melyik hegyesszög.

Legyen \(\displaystyle \overrightarrow{BA}=\underline{m}\), \(\displaystyle \overrightarrow{BC}=\underline{n}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{BF}=\underline{p}\), valamint a három vektor hossza legyen rendre \(\displaystyle m\), \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle p\).

Mindegyik lapátló felírható két vektor különbségeként: \(\displaystyle \underline{a}=\underline{p}-\underline{m}\), \(\displaystyle \underline{b}=\underline{n}-\underline{p}\) és \(\displaystyle \underline{c}=\underline{m}-\underline{n}\).

Ha egy ilyen lapátlót skalárisan szorzunk a testátlóval, ami \(\displaystyle \underline{t}=\underline{m}+\underline{n}+\underline{p}\), akkor például \(\displaystyle \underline{b}\)-re ezt kapjuk: \(\displaystyle (\underline{n}-\underline{p})(\underline{m}+\underline{n}+\underline{p})= \underline{n}^2-\underline{p}^2\), mert az egymásra merőleges vektorok skaláris szorzata 0. Ez egyenlő \(\displaystyle bt\cos\beta'\)-vel.

Tehát a három lapátló és a testátló skaláris szorzata rendre: \(\displaystyle \underline{p}^2-\underline{m}^2=p^2-m^2=at\cos\alpha'\), \(\displaystyle \underline{n}^2-\underline{p}^2=n^2-p^2=bt\cos\beta'\) és \(\displaystyle \underline{m}^2-\underline{n}^2=m^2-n^2=ct\cos\gamma'\).

A feltétel miatt vagy \(\displaystyle n<m<p\) vagy \(\displaystyle p<m<n\). Az első esetben csak az \(\displaystyle n^2-p^2\) negatív, ami azt jelenti, hogy \(\displaystyle \beta'>90^{\circ}\). Ekkor

\(\displaystyle a\cdot\cos\alpha'+b\cos\beta'+c\cos\gamma'=a\cdot\cos\alpha-b\cos\beta+c\cos\gamma=0.\)

A második esetben \(\displaystyle n^2-p^2>0\), és a másik két tag negatív, vagyis:

\(\displaystyle a\cdot\cos\alpha'+b\cos\beta'+c\cos\gamma'=-a\cdot\cos\alpha+b\cos\beta-c\cos\gamma=0.\)

Ezt \(\displaystyle -1\)-gyel szorozva szintén a bizonyítandó állítást kapjuk.

Temesvári Fanni (Budapest, ELTE Radnóti M. Gyak. Isk., 12. o. t.) megoldása alapján


Statistics on problem C. 1195.
17 students sent a solution.
5 points:Sziegl Benedek, Temesvári Fanni.
4 points:Bekő Mária, Denke Dorottya, Farkas Dóra, Hegel Patrik, Telek Máté László, Tóth Zsófia, Zsiros Ádám.
3 points:3 students.
2 points:1 student.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley