Problem C. 1196. (December 2013)
C. 1196. There are four children in a certain family. Santa brought them some jelly filled candies. The kids re-distributed the candies as follows: Olivia gave half of her candies to Peter. Then Peter generously passed on one third of all candies with him to Rob, and Rob passed on one fourth of his candies to Sarah. Then Sarah observed: ``If I gave Olivia one fifth of my candies, then each of us would have the same number of candies.'' What was the initial distribution of candies? What is the smallest possible number of all candies that the kids have?
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2014.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Ha Sári tényleg odaadná cukrai ötödét Olíviának, akkor mindenkinek \(\displaystyle c\) darab szaloncukra lenne. Tehát most az Olíviánál, Péternél, Robinál és Sárinál levő cukrok száma rendre \(\displaystyle \frac34c\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle \frac54c\). Mielőtt Robi édességeinek negyedét Sárinak adta, a cukrok száma rendre \(\displaystyle \frac34c\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle \frac43c\) és \(\displaystyle \frac{11}{12}c\) volt. Mielőtt Péter a cukrai harmadát Robinak adta volna, a cukrok száma rendre \(\displaystyle \frac34c\), \(\displaystyle \frac32c\), \(\displaystyle \frac56c\) és \(\displaystyle \frac{11}{12}c\) volt. Végül, mielőtt Olívia Péternek adta volna cukrai felét, a gyerekeknél levő cukrok száma rendre \(\displaystyle \frac32c\), \(\displaystyle \frac34c\), \(\displaystyle \frac56c\) és \(\displaystyle \frac{11}{12}c\) volt. Vagyis eredetileg a cukrok száma \(\displaystyle \frac{18}{12}c\), \(\displaystyle \frac{9}{12}c\), \(\displaystyle \frac{10}{12}c\) és \(\displaystyle \frac{11}{12}c\) volt, így a gyerekek között a szaloncukrokat 18:9:10:11 arányban osztották szét. Mivel például a 9-nek és a 10-nek nincs közös osztója, ezért a legkisebb lehetséges darabszám \(\displaystyle 18+9+10+11=48\).
Statistics:
116 students sent a solution. 5 points: 94 students. 4 points: 9 students. 2 points: 6 students. 1 point: 2 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013