KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1198. Solve the following equation of two variables: x2+y2+1=xy+x+y.

(5 points)

Deadline expired on 10 January 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Rendezzük 0-ra az egyenletet:

\(\displaystyle x^2-x+y^2-y+1-xy=0.\)

Szorozzuk be 2-vel:

\(\displaystyle 2x^2-2x+2y^2-2y+2-2xy=0.\)

Csoportosítsuk a tagokat:

\(\displaystyle (x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)+(x^2-2xy+y^2)=0,\)

amiből

\(\displaystyle (x-1)^2+(y-1)^2+(x-y)^2=0.\)

Ez pontosan akkor 0, ha minden tagja 0, vagyis \(\displaystyle (x-1)^2=0\), \(\displaystyle (y-1)^2=0\) és \(\displaystyle (x-y)^2=0\), vagyis \(\displaystyle x=y=1\).

Megjegyzés: Ha valakinek nincs egyéb ötlete, és a másodfokú egyenlet megoldóképletével próbálkozik, akkor pl. \(\displaystyle y\)-ra ezt kapja:

\(\displaystyle y_{1,2}=\frac{x+1\pm\sqrt{-3(x-1)^2}}{2}.\)

Mivel a gyökjel alatt nem állhat negatív szám, és \(\displaystyle (x-1)^2\geq0\), ezért az egyetlen lehetséges megoldás az, ha \(\displaystyle x-1=0\). Ekkor \(\displaystyle x=y=1\).


Statistics on problem C. 1198.
219 students sent a solution.
5 points:148 students.
4 points:29 students.
3 points:15 students.
2 points:10 students.
1 point:3 students.
Unfair, not evaluated:14 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley