A C. 1199. feladat (2013. december)

C. 1199. A mellékelt ábra burkolólapokból készített minták sorozatát mutatja. A mintákhoz használt sötétszürke lapok száma sorban: 1,6,13,24,37,....

Zsófi bebizonyította, hogy a páratlan sorszámú mintákon a sötétszürke burkolólapok száma a sorszám másodfokú függvénye. Adjuk meg, hogy hány darab sötétszürke lapot tartalmaz a kilencvenkilencedik ábra Zsófi szerint.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle f(n)=an^2+bn+c\) a keresett másodfokú függvény hozzárendelési szabálya, ahol \(\displaystyle n\) jelöli a páratlan sorszámot. Tudjuk, hogy \(\displaystyle f(1)=1\), \(\displaystyle f(3)=13\), \(\displaystyle f(5)=37\), ezért a következő egyenletrendszert kell megoldanunk: \(\displaystyle a+b+c=1\), \(\displaystyle 9a+3b+c=13\), \(\displaystyle 25a+5b+c=37\). A megoldás: \(\displaystyle a=1,5\), \(\displaystyle b=0\), \(\displaystyle c=-0,5\). A másodfokú függvény: \(\displaystyle f(n)=1,5n^2-0,5\). Vagyis Zsófi a kilencvenkilencedik mintán lévő szürke lapok számára ezt kapta: \(\displaystyle f(99)=1,5\cdot99^2-0,5=14 701\).

Statisztika:

182 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	120 versenyző.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	22 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2013. decemberi matematika feladatai