Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1200. (December 2013)

C. 1200. Solve the equation 2^{\sqrt{9-4x^2}}
=1-\bigg|\frac{1}{2}-\Big|\frac{1}{3}x\Big|\bigg|.

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A bal oldal legalább \(\displaystyle 2^0=1\), a jobb oldal pedig legfeljebb \(\displaystyle 1-0=1\). Tehát a két oldal csak úgy lehet egyenlő, ha mindkettő 1.

Ha a bal oldal 1, akkor a kitevő, vagyis \(\displaystyle \sqrt{9-4x^2}=0\). Ebből \(\displaystyle 9-4x^2=0\), vagyis \(\displaystyle 9=4x^2\) és innen \(\displaystyle x=\pm\frac32\).

Ha a jobb oldal 1, akkor \(\displaystyle \left|\frac12-\left|\frac13x\right|\right|=0\), amiből \(\displaystyle \frac12-\left|\frac13x\right|=0\) következik. Vagyis \(\displaystyle \frac12=\left|\frac13x\right|\), és innen \(\displaystyle \pm\frac12=\frac13x\), azaz \(\displaystyle \pm\frac32=x\) következik.

Mivel a bal és a jobb oldal ugyanazon \(\displaystyle x\) értékek esetén éri el az 1-et, ezért a megoldás: \(\displaystyle x=\pm\frac32\).


Statistics:

191 students sent a solution.
5 points:126 students.
4 points:48 students.
3 points:9 students.
2 points:1 student.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013