KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1203. Show that if x, y and z are rational numbers such that x+y\nez, z\ne0, and (a-1)2x+(a-1)2y-(a2-1)z=0, then a is also a rational number.

(5 points)

This problem is for grade 1 - 10 students only.

Deadline expired on 10 February 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Alakítsuk a kifejezést:

0=(a-1)2x+(a-1)2y-(a2-1)z=(a-1)(a-1)x+(a-1)(a-1)y-(a+1)(a-1)z=

=(a-1)[(a-1)x+(a-1)y-(a+1)z].

Egy szorzat akkor 0, ha az egyik tényezője az. Ha az első tényező 0, akkor a=1, ami racionális. Ha a második tényező 0, akkor (a-1)x+(a-1)y-(a+1)z=0. Innen

ax+ay-az-x-y-z=0,

a(x+y-z)=x+y+z,

osztva (x+y-z\neq0)-val:

a=\frac{x+y+z}{x+y-z}.

Itt a számláló és a nevező is három racionális szám összege (hiszen -z is racionális), így hányadosuk, a is racionális. (Mivel z\neq0, ezért ekkor a\neq1.)


Statistics on problem C. 1203.
142 students sent a solution.
5 points:95 students.
4 points:18 students.
3 points:6 students.
2 points:12 students.
1 point:3 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley