Problem C. 1203. (January 2014)
C. 1203. Show that if x, y and z are rational numbers such that x+yz, z0, and (a-1)2x+(a-1)2y-(a2-1)z=0, then a is also a rational number.
(5 pont)
Deadline expired on February 10, 2014.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Alakítsuk a kifejezést:
0=(a-1)2x+(a-1)2y-(a2-1)z=(a-1)(a-1)x+(a-1)(a-1)y-(a+1)(a-1)z=
=(a-1)[(a-1)x+(a-1)y-(a+1)z].
Egy szorzat akkor 0, ha az egyik tényezője az. Ha az első tényező 0, akkor a=1, ami racionális. Ha a második tényező 0, akkor (a-1)x+(a-1)y-(a+1)z=0. Innen
ax+ay-az-x-y-z=0,
a(x+y-z)=x+y+z,
osztva (x+y-z0)-val:
Itt a számláló és a nevező is három racionális szám összege (hiszen -z is racionális), így hányadosuk, a is racionális. (Mivel z0, ezért ekkor a1.)
Statistics:
142 students sent a solution. 5 points: 95 students. 4 points: 18 students. 3 points: 6 students. 2 points: 12 students. 1 point: 3 students. 0 point: 7 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2014