A C. 1203. feladat (2014. január)

C. 1203. Mutassuk meg, hogy ha x, y és z olyan racionális számok, amelyekre x+yz, z0, továbbá (a-1)²x+(a-1)²y-(a²-1)z=0, akkor az a is racionális szám.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Alakítsuk a kifejezést:

0=(a-1)²x+(a-1)²y-(a²-1)z=(a-1)(a-1)x+(a-1)(a-1)y-(a+1)(a-1)z=

=(a-1)[(a-1)x+(a-1)y-(a+1)z].

Egy szorzat akkor 0, ha az egyik tényezője az. Ha az első tényező 0, akkor a=1, ami racionális. Ha a második tényező 0, akkor (a-1)x+(a-1)y-(a+1)z=0. Innen

ax+ay-az-x-y-z=0,

a(x+y-z)=x+y+z,

osztva (x+y-z0)-val:

Itt a számláló és a nevező is három racionális szám összege (hiszen -z is racionális), így hányadosuk, a is racionális. (Mivel z0, ezért ekkor a1.)

Statisztika:

142 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	95 versenyző.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2014. januári matematika feladatai