KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1204. (January 2014)

C. 1204. The midpoints of the sides of the convex quadrilaterals ABCD and EFGH coincide. Prove that the two quadrilaterals have equal areas.

(5 pont)

Deadline expired on 10 February 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Bebizonyítjuk, hogy tetszőleges konvex négyszög területe kétszerese a felezőpontjai által meghatározott négyszög területének. Ebből már következik az állítás, hiszen ha két négyszög oldalfelezőpontjai egybeesnek, akkor az általuk meghatározott négyszög is egybeesik, így ezek területe nyilván ugyanakkora, és így az eredeti négyszögek területe is egyenlő.

Tekintsük a következő ábrát.

Mivel E és F felezőpontok, ezért a B középpontú, 1:2 arányú kicsinyítés az ABC háromszöget az EBF háromszögbe viszi: EBF\triangle\sim ABC\triangle, a hasonlóság aránya 1:2. A területek aránya ennek négyzete, tehát t_{EBF}=\frac14t_{ABC}.

Hasonlóan kapjuk, hogy t_{HGD}=\frac14t_{ACD}, t_{AEH}=\frac14t_{ABD} és t_{FGC}=\frac14t_{BDC}.

Ezeket összeadva:

t_{EBF}+t_{HGD}+t_{AEH}+t_{FGC}=\frac14t_{ABC}+\frac14t_{ACD}+\frac14t_{ABD}+\frac14t_{BDC}=

=\frac14(t_{ABC}+t_{ACD})+\frac14(t_{ABD}+t_{BDC})=\frac14t_{ABCD}+\frac14t_{ABCD}=\frac12t_{ABCD}.

Ebből pedig már következik az állítás:

t_{EFGH}=t_{ABCD}-(t_{EBF}+t_{HGD}+t_{AEH}+t_{FGC})=t_{ABCD}-\frac12t_{ABCD}=\frac12t_{ABCD}.


Statistics:

93 students sent a solution.
5 points:65 students.
4 points:13 students.
3 points:4 students.
2 points:2 students.
1 point:5 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley