KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1204. The midpoints of the sides of the convex quadrilaterals ABCD and EFGH coincide. Prove that the two quadrilaterals have equal areas.

(5 points)

This problem is for grade 1 - 10 students only.

Deadline expired on 10 February 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Bebizonyítjuk, hogy tetszőleges konvex négyszög területe kétszerese a felezőpontjai által meghatározott négyszög területének. Ebből már következik az állítás, hiszen ha két négyszög oldalfelezőpontjai egybeesnek, akkor az általuk meghatározott négyszög is egybeesik, így ezek területe nyilván ugyanakkora, és így az eredeti négyszögek területe is egyenlő.

Tekintsük a következő ábrát.

Mivel E és F felezőpontok, ezért a B középpontú, 1:2 arányú kicsinyítés az ABC háromszöget az EBF háromszögbe viszi: EBF\triangle\sim ABC\triangle, a hasonlóság aránya 1:2. A területek aránya ennek négyzete, tehát t_{EBF}=\frac14t_{ABC}.

Hasonlóan kapjuk, hogy t_{HGD}=\frac14t_{ACD}, t_{AEH}=\frac14t_{ABD} és t_{FGC}=\frac14t_{BDC}.

Ezeket összeadva:

t_{EBF}+t_{HGD}+t_{AEH}+t_{FGC}=\frac14t_{ABC}+\frac14t_{ACD}+\frac14t_{ABD}+\frac14t_{BDC}=

=\frac14(t_{ABC}+t_{ACD})+\frac14(t_{ABD}+t_{BDC})=\frac14t_{ABCD}+\frac14t_{ABCD}=\frac12t_{ABCD}.

Ebből pedig már következik az állítás:

t_{EFGH}=t_{ABCD}-(t_{EBF}+t_{HGD}+t_{AEH}+t_{FGC})=t_{ABCD}-\frac12t_{ABCD}=\frac12t_{ABCD}.


Statistics on problem C. 1204.
93 students sent a solution.
5 points:65 students.
4 points:13 students.
3 points:4 students.
2 points:2 students.
1 point:5 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley