KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1205. (January 2014)

C. 1205. Find all right-angled triangles in which the measures of the sides are two-digit integers, the length of the hypotenuse is obtained by interchanging the digits of one leg, and the three two-digit numbers consist of exactly three kinds of digits, each occurring twice.

(5 pont)

Deadline expired on 10 February 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek a, b és c egymástól különböző egyjegyű pozitív egészek, az átfogó hossza \overline{ab}. Ekkor egyrészt az egyik befogó hossza \overline{ba}, másrészt mivel a befogó rövidebb az átfogónál, így a>b. A másik befogó hossza pedig \overline{cc}. Mivel a háromszög derékszögű, ezért felírható a Pitagorasz-tétel. Tehát a (10a+b)2-(10b+a)2=(11c)2 egyenletet kell megoldanunk, ahol a, b, c különböző pozitív számjegyek. Ezt átalakítva:

100a2+20ab+b2-100b2-20ab-a2=112c2,

99a2-99b2=112c2.

Mindkét oldalt osztva 11-gyel:

9a2-9b2=11c2,

9(a-b)(a+b)=11c2.

Mivel (3,11)=1, ezért 9|c2, tehát c=3, c=6 vagy c=9. Az utóbbi esetén az egyik befogó hossza 99, de ekkor az átfogó már nem lehetne kétjegyű szám. Ha c=6, akkor a bal oldal is páros, vagyis a és b paritása meg kell, hogy egyezzen. Mivel a-b<11, csak 11|a+b lehetséges. De a+b<22, így a+b=11 kellene, hogy legyen, ez viszont egyező paritás esetén lehetetlen.

Tehát c=3. Ekkor (a-b)(a+b)=11 és mivel a+b>a-b és 11 prímszám, ezért a-b=1 és a+b=11. Ebből pedig a=6 és b=5.

Vagyis 33, 56, 65 az egyedüli megoldás: 332+562=652.


Statistics:

191 students sent a solution.
5 points:137 students.
4 points:26 students.
3 points:10 students.
2 points:3 students.
1 point:7 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley