KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1208. The vertices of the parallelograms PQRL and LSTA in the plane are labelled in the same sense around the clock. The parallelograms do not have a point in common, except L. Prove that there exists a pentagon ABCDE (degenerated cases are allowed) in the plane such that the midpoints of the sides are P, Q, R, S, T, in this order.

(5 points)

This problem is for grade 11 - 12 students only.

Deadline expired on 10 February 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A bizonyításhoz kihasználjuk a vektorokra vonatkozó paralelogramma szabályt, amely miatt \(\displaystyle \overrightarrow{LQ}=\overrightarrow{LP}+\overrightarrow{LR}\), illetve \(\displaystyle \overrightarrow{LT}=\overrightarrow{LA}+\overrightarrow{LS}\).

Felhasználjuk még, hogy az \(\displaystyle \overrightarrow{a}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{b}\) vektor felezőpontjába mutató \(\displaystyle \overrightarrow{v}\) vektorra \(\displaystyle \overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\), amiből \(\displaystyle \overrightarrow{b}=2\overrightarrow{v}-\overrightarrow{a}\).

Azt fogjuk bizonyítani, hogy az \(\displaystyle A\) pontot sorra tükrözve a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\), \(\displaystyle S\) és \(\displaystyle T\) pontokra, az utolsó tükörkép maga az \(\displaystyle A\) pont lesz.

Jelölje tehát az \(\displaystyle A\) pont tükörképét a \(\displaystyle P\) pontra \(\displaystyle B\). Ekkor \(\displaystyle \overrightarrow{LB}=2\overrightarrow{LP}-\overrightarrow{LA}.\)

A \(\displaystyle B\) pont tükörképe a \(\displaystyle Q\) pontra legyen \(\displaystyle C\). Ekkor \(\displaystyle \overrightarrow{LC}=2\overrightarrow{LQ}-\overrightarrow{LB}= 2(\overrightarrow{LP}+\overrightarrow{LR})-(2\overrightarrow{LP}-\overrightarrow{LA}) =2\overrightarrow{LR}+\overrightarrow{LA}\).

A \(\displaystyle C\) pont tükörképe az \(\displaystyle R\) pontra legyen \(\displaystyle D\). Ekkor \(\displaystyle \overrightarrow{LD}=2\overrightarrow{LR}-\overrightarrow{LC}= 2\overrightarrow{LR}-(2\overrightarrow{LR}+\overrightarrow{LA})=-\overrightarrow{LA}\).

A \(\displaystyle D\) pont tükörképe az \(\displaystyle S\) pontra legyen \(\displaystyle E\). Ekkor \(\displaystyle \overrightarrow{LE}=2\overrightarrow{LS}-\overrightarrow{LD}=2\overrightarrow{LS}+\overrightarrow{LA}\).

Végül az \(\displaystyle E\) pont tükörképét a \(\displaystyle T\) pontra jelölje \(\displaystyle F\). Ekkor \(\displaystyle \overrightarrow{LF}=2\overrightarrow{LT}-\overrightarrow{LE}= 2(\overrightarrow{LA}+\overrightarrow{LS})-(2\overrightarrow{LS}+\overrightarrow{LA})=\overrightarrow{LA}\).

Vagyis \(\displaystyle \overrightarrow{LF}=\overrightarrow{LA}\), és így valóban \(\displaystyle F\equiv A\), tehát az így kapott \(\displaystyle ABCDE\) ötszög megfelelő.


Statistics on problem C. 1208.
20 students sent a solution.
5 points:Bereczki Zoltán, Farkas Dóra, Fényes Balázs, Gnandt Balázs, Hegel Patrik, Jójárt Alexandra, Telek Máté László.
4 points:Chourfi Abdel Karim, Demeter Dániel, Hegyesi János Géza, Szabó 524 Tímea, Temesvári Fanni.
3 points:4 students.
2 points:1 student.
0 point:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley