KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1209. The tangents drawn from a point C lying outside a circle touch the circle at points A és B. M is a point on the shorter arc AB. Let MN, ME and MD be the line segments drawn from M, perpendicular to the line segments AB, BC and CA, respectively. Given that MN=4, MD=2 and AMB\sphericalangle=120^{\circ}, find the area of triangle MNE.

(5 points)

This problem is for grade 11 - 12 students only.

Deadline expired on 10 February 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Készítsünk ábrát.

A kerületi szögek tétele miatt DAM\angle=MBA\angle, mindkettő az MA ívhez tartozó kerületi szög; illetve EBM\angle=MAB\angle, hiszen mindkettő az MB ívhez tartozó kerületi szög. Tudjuk még, hogy MDA\angle=MNB\angle=90o és MEB\angle=MNA\angle=90o. Ezekből már - két-két szög egyenlősége miatt - következik, hogy DAM\triangle\sim NBM\triangle és EBM\triangle\sim NAM\triangle. Mivel DM=2 és MN=4, ezért a DAM és az NBM háromszög esetén a hasonlóság aránya 1:2, és így MB=2MA. Ebből pedig az következik, hogy az EBM és az NAM háromszög esetén a hasonlósági arány 2:1. Innen pedig EM=2MN=8 következik.

Az EBM és az NAM háromszög hasonlóságából az is következik, hogy EMB\angle=AMN\angle. Emiatt NME\angle=NMB\angle+EMB\angle=NMB\angle+AMN\angle=120o.

Az MNE háromszög területe: t=\frac12MN\cdot EM\cdot\sin
NME\angle= \frac12\cdot4\cdot8\cdot\sin120^{\circ}=8\sqrt3.


Statistics on problem C. 1209.
30 students sent a solution.
5 points:Barna Kinga, Beke 997 Tamás, Bekő Mária, Bereczki Zoltán, Chourfi Abdel Karim, Demeter Dániel, Denke Dorottya, Farkas Dóra, Gnandt Balázs, Hegel Patrik, Hegyesi János Géza, Hegyi Zoltán, Kácsor Szabolcs, Kovács 972 Márton, Kranczler Dóra, Paulovics Zoltán, Rimóczi Alma, Sziegl Benedek, Telek Máté László, Temesvári Fanni, Tóth Zsófia, Zsiros Ádám.
4 points:Szabó 157 Dániel.
3 points:2 students.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
0 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley