KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1215. Prove that if the inscribed circle of a right-angled triangle has unit radius and the length of one leg is rational then the lengths of the other two sides are also rational.

(5 points)

This problem is for grade 11 - 12 students only.

Deadline expired on 10 March 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Készítsünk ábrát. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írható kör középpontja legyen \(\displaystyle O\), az oldalak szokás szerint \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), az érintési pontok pedig \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\). Mivel egy kör középpontjából húzott sugár merőleges az érintőre, így egyrészt \(\displaystyle OE=OD=1\), másrészt \(\displaystyle ODC\angle=OEC\angle=90^{\circ}\). Mivel \(\displaystyle DCE\angle\) is derékszög, így \(\displaystyle CEOD\) olyan téglalap, melynek szomszédos oldalai egyenlők, tehát négyzet. Így \(\displaystyle CE=CD=1\), amiből \(\displaystyle EA=b-1\) és \(\displaystyle DB=a-1\) következik. Mivel külső pontból egy körhöz húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak, ezért \(\displaystyle FA=EA=b-1\) és \(\displaystyle FB=DB=a-1\).

Legyen az \(\displaystyle a\) racionális (ezt szimmetria okokból feltehetjük). Mivel \(\displaystyle c=a-1+b-1\), amiből \(\displaystyle c-b=a-2\), és ha \(\displaystyle a\) racionális, akkor \(\displaystyle a-2\) is az, ezért \(\displaystyle c-b\) is racionális. Felírva a Pitagorasz tételt: \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\), amiből \(\displaystyle a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)\). Mivel \(\displaystyle c>b\), ezért ebből \(\displaystyle c+b=\frac{a^2}{c-b}\) következik. Mivel \(\displaystyle a\) racionális, ezért \(\displaystyle a^2\) is az, és mivel \(\displaystyle c-b\) is az, így a kettő hányadosa, \(\displaystyle c+b\) is az. Mivel \(\displaystyle c=\frac{(c-b)+(c+b)}{2}\), ahol a nevezőben két racionális szám összege áll, így \(\displaystyle c\) is racionális. Végül \(\displaystyle b=c-(c-b)\) miatt \(\displaystyle b\) két racionális szám összege, így maga is racionális.


Statistics on problem C. 1215.
43 students sent a solution.
5 points:Bajnok Anna, Bálint Karola, Bekő Mária, Bereczki Zoltán, Demeter Dániel, Denke Dorottya, Dombrovszky Borbála, Erdei Ákos, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Gnandt Balázs, Hegel Patrik, Hegyi Zoltán, Horváth Bendegúz, Jójárt Alexandra, Kácsor Szabolcs, Kovács 972 Márton, Kranczler Dóra, Krisztián Jonatán, Nguyen Anh Tuan, Porupsánszki István, Rimóczi Alma, Schefler Barna, Semegi Judit, Szabó 157 Dániel, Sziegl Benedek, Szűcs Dorina, Szűcs Miklós, Tarnay Mátyás, Tekeli Miklós, Temesvári Fanni, Tóth Zsófia, Várkonyi Ádám, Wolkensdorfer Zsófia, Zsiros Ádám.
4 points:Chourfi Abdel Karim.
3 points:3 students.
2 points:2 students.
1 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley