A C. 1216. feladat (2014. február)

C. 1216. Az elkészült ideális farsangi fánk 54 gramm, melynek 8%-a a sütéskor beszívott olaj, és alakja egy 78 mm átmérőjű, 3 cm magasságú, azonos méretű alsó- és felső fedőlapú (vagyis középpontosan szimmetrikus) gömböv. A fánk tésztája sütés közben a kétszeresére dagad és tömege csak az olaj tömegével nő. Lefedhető-e egy lapos fedővel a 2,5 l-es keverőtálba tett sütés előtt álló 1 kg-nyi tészta?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy fánk 54 gramm, ebből \(\displaystyle 54\cdot0,92=49,68\) gramm a tészta.

A gömböv átmérője 78 mm= 7,8 cm, vagyis \(\displaystyle OB=7,8/2=3,9\) cm. A fánk magassága az \(\displaystyle AO\) hosszának kétszerese, vagyis \(\displaystyle AO=1,5\) cm. \(\displaystyle AB\) Pitagorasz tétellel számolható: \(\displaystyle AB=\sqrt{3,9^2-1,5^2}=3,6\) cm. Egy kisütött fánk térfogata így: \(\displaystyle V=2\cdot\frac{\pi}{6}\cdot1,5\cdot(1,5^2+3\cdot3,9^2+3\cdot3,6^2)\approx136,28 {\rm ~cm}^3\). A sütés előtti térfogat ennek a fele, vagyis kb. 68,14 \(\displaystyle {\rm cm}^3\).

Tehát 49,68 gramm tészta térfogata 68,14 \(\displaystyle {\rm cm}^3\), így 1000 gramm tészta térfogata \(\displaystyle \frac{68,14}{49,68}\cdot1000\approx1371,58 {\rm~ cm}^3 < 2500 {\rm~ cm}^3\), azaz bőven belefér a tálba.

Statisztika:

43 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bálint Karola, Bereczki Zoltán, Chourfi Abdel Karim, Denke Dorottya, Farkas Dóra, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Hegel Patrik, Jójárt Alexandra, Kranczler Dóra, Krisztián Jonatán, Sebők Bence, Semegi Judit, Szabó 145 Bernát, Szabó 157 Dániel, Tekeli Miklós, Telek Máté László, Temesvári Fanni, Torma Lili Eszter, Tóth Zsófia.
4 pontot kapott:	Beke 997 Tamás, Demeter Dániel, Kovács 972 Márton, Nguyen Anh Tuan.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai