Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1217. (March 2014)

C. 1217. Prove that it is possible to select four out of any seven integers such that their sum is divisible by 4.

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Három egész szám között van kettő, amelyek ugyanolyan paritásúak. Ezek összege osztható kettővel.

A fentiek miatt hét szám között is van kettő ilyen, legyenek ezek \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\). A maradék öt szám között is találunk két ilyen számot, legyenek ezek \(\displaystyle z\) és \(\displaystyle s\). Három szám marad, melyek között ismét találunk kettőt, melyek összege osztható 2-vel, legyenek ezek \(\displaystyle t\) és \(\displaystyle v\). Ekkor \(\displaystyle \frac{x+y}{2}\), \(\displaystyle \frac{z+s}{2}\) és \(\displaystyle \frac{t+v}{2}\) is egész (hiszen a számlálók 2-vel oszthatók), így ezek között is van kettő, melyek összege páros. Legyen ez a két szám \(\displaystyle \frac{x+y}{2}\) és \(\displaystyle \frac{t+v}{2}\). Ekkor \(\displaystyle \frac{\frac{x+y}{2}+\frac{t+v}{2}}{2}=\frac{x+y+t+v}{4}\) is egész szám, tehát \(\displaystyle x+y+t+v\) osztható 4-gyel.

Döbröntei Dávid Bence (Pápa, Türr István Gimn., 9. évf.)


Statistics:

89 students sent a solution.
5 points:54 students.
4 points:11 students.
3 points:9 students.
2 points:7 students.
1 point:2 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2014