KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1217. (March 2014)

C. 1217. Prove that it is possible to select four out of any seven integers such that their sum is divisible by 4.

(5 pont)

Deadline expired on 10 April 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Három egész szám között van kettő, amelyek ugyanolyan paritásúak. Ezek összege osztható kettővel.

A fentiek miatt hét szám között is van kettő ilyen, legyenek ezek \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\). A maradék öt szám között is találunk két ilyen számot, legyenek ezek \(\displaystyle z\) és \(\displaystyle s\). Három szám marad, melyek között ismét találunk kettőt, melyek összege osztható 2-vel, legyenek ezek \(\displaystyle t\) és \(\displaystyle v\). Ekkor \(\displaystyle \frac{x+y}{2}\), \(\displaystyle \frac{z+s}{2}\) és \(\displaystyle \frac{t+v}{2}\) is egész (hiszen a számlálók 2-vel oszthatók), így ezek között is van kettő, melyek összege páros. Legyen ez a két szám \(\displaystyle \frac{x+y}{2}\) és \(\displaystyle \frac{t+v}{2}\). Ekkor \(\displaystyle \frac{\frac{x+y}{2}+\frac{t+v}{2}}{2}=\frac{x+y+t+v}{4}\) is egész szám, tehát \(\displaystyle x+y+t+v\) osztható 4-gyel.

Döbröntei Dávid Bence (Pápa, Türr István Gimn., 9. évf.)


Statistics:

89 students sent a solution.
5 points:54 students.
4 points:11 students.
3 points:9 students.
2 points:7 students.
1 point:2 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley